Question

已知函數(shù)f（x）=2cosx（sinx-acosx）-a，其中a為常數(shù)，求函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=

π

8

對(duì)稱的充要條件．

Answer 1

考點(diǎn)：兩角和與差的正弦函數(shù),必要條件、充分條件與充要條件的判斷

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：根據(jù)充分條件和必要條件的定義結(jié)合兩角和差的正弦公式，將函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)即可得到結(jié)論．

解答： 解：f（x）=2cosx（sinx-acosx）-a=2sinxcosx-2acos²x-a
=sin2x-acos2x-2a=

a2+1

sin（2x+θ）-2a，其中tanθ=a，
若圖象關(guān)于直線x=

π

8

對(duì)稱，
則當(dāng)直線x=

π

8

時(shí)，函數(shù)取得最大值或最小值，
即若取得最大值則

a2+1

-2a=sin

π

4

-acos

π

4

-2a=

2

2

-

2

2

a-2a，
即

a2+1

=

2

2

-

2

2

a=

2

2

（1-a），則a≤1，
平方得a²+1=

1

2

（1-a）²，
即（a+1）²=0，解得a=-1．
即若取得最小值則-

a2+1

-2a=sin

π

4

-acos

π

4

-2a=

2

2

-

2

2

a-2a，
即-

a2+1

=

2

2

-

2

2

a=

2

2

（1-a），則a≥1，
平方得a²+1=

1

2

（1-a）²，
即（a+1）²=0，解得a=-1不成立，
綜上a=-1，
當(dāng)a=-1時(shí)，f（x）=sin2x+cos2x+2=

2

sin（2x+

π

4

）+2，
當(dāng)x=

π

8

時(shí)，f（

π

8

）=

2

sin（2×

π

8

+

π

4

）+2=

2

sin

π

2

+2=

2

+2函數(shù)取得最大值，
此時(shí)圖象關(guān)于直線x=

π

8

對(duì)稱，
故函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=

π

8

對(duì)稱的充要條件是a=-1．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用充分條件和必要條件的定義是解決本題的關(guān)鍵．考查學(xué)生的推理能力．