【題目】若函數(shù)f(x)在其圖象上存在不同的兩點A(x1,y1),B(x2,y2),其坐標滿足條件:|x1x2+y1y2|的最大值為0,則稱f(x)為“柯西函數(shù)”,則下列函數(shù):
①f(x)=x(x>0);
②f(x)=lnx(0<x<3);
③f(x)=cosx;
④f(x)=x2﹣1.
其中為“柯西函數(shù)”的個數(shù)為( )
A.1B.2C.3D.4
【答案】C
【解析】
由“柯西函數(shù)”得函數(shù)f(x)在其圖象上存在不同的兩點A(x1,y1),B(x2,y2),使得、共線,即存在點A、B與點O共線,分別判斷即可.
對由柯西不等式得:對任意實數(shù)x1,y1,x2,y2:|x1x2+y1y2|恒成立(當且僅當存在實數(shù)k,使得x1=kx2,y1=ky2取等號),
若函數(shù)f(x)在其圖象上存在不同的兩點A(x1,y1),B(x2,y2),其坐標滿足條件:|x1x2+y1y2|的最大值為0,
則函數(shù)f(x)在其圖象上存在不同的兩點A(x1,y1),B(x2,y2),
使得、共線,即存在點A、B與點O共線.
設AB的方程為y=kx,由,得,不可能存在兩個正數(shù)解,故①不是柯西函數(shù);
對于②,由得,
令,由得,此時為增函數(shù);由得,此時為減函數(shù),所以有極大值;
當時,,當時,,
所以當時,有兩個不同的交點,故②是柯西函數(shù);
對于③,取A(0,0),點B任意,均滿足定義,故③是柯西函數(shù)
對于④取A(﹣1,0),B(1,0),均滿足定義,故④是柯西函數(shù)
故選:C.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某校準備采用導師制成立培養(yǎng)各學科全優(yōu)尖子生培優(yōu)小組,設想培優(yōu)小組中,每1名學生需要配備2名理科教師和2名文科教師做導師;設想培優(yōu)小組中,每1名學生需要配備3名理科教師和1名文科教師做導師.若學,F(xiàn)有14名理科教師和9名文科教師積極支持,則兩培優(yōu)小組能夠成立的學生人數(shù)和最多是_________.
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【題目】嫦娥四號任務經(jīng)過探月工程重大專項領導小組審議,通過并且正式開始實施,如圖所示.假設“嫦娥四號”衛(wèi)星將沿地月轉(zhuǎn)移軌道飛向月球后,在月球附近一點變軌進入以月球球心為一個焦點的橢圓軌道Ⅰ繞月飛行,之后衛(wèi)星在點第二次變軌進入仍以為一個焦點的橢圓軌道Ⅱ繞月飛行.若用和分別表示橢圓軌道Ⅰ和Ⅱ的焦距,用和分別表示橢圓軌道Ⅰ和Ⅱ的長軸長,則下列關(guān)系中正確的是( )
A.B.C.D.
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【題目】某中學調(diào)查防疫期間學生居家每天鍛煉時間情況,從高一、高二年級學生中分別隨機抽取100人,由調(diào)查結(jié)果得到如下的頻率分布直方圖:
(Ⅰ)寫出頻率分布直方圖(高一)中的值;記高一、高二學生100人鍛煉時間的樣本的方差分別為,,試比較,的大。ㄖ灰髮懗鼋Y(jié)論);
(Ⅱ)估計在高一、高二學生中各隨機抽取1人,恰有一人的鍛煉時間大于20分鐘的概率;
(Ⅲ)由頻率分布直方圖可以認為,高二學生鍛煉時間服從正態(tài)分布.其中近似為樣本平均數(shù),近似為樣本方差,且每名學生鍛煉時間相互獨立,設表示從高二學生中隨機抽取10人,其鍛煉時間位于的人數(shù),求的數(shù)學期望.
注:①同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點值作代表,計算得
②若,則,
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【題目】為評估設備生產(chǎn)某種零件的性能,從設備生產(chǎn)該零件的流水線上隨機抽取100個零件為樣本,測量其直徑后,整理得到下表:
經(jīng)計算,樣本的平均值,標準差,以頻率值作為概率的估計值.
(I)為評判一臺設備的性能,從該設備加工的零件中任意抽取一件,記其直徑為,并根據(jù)以下不等式進行判定(表示相應事件的概率):
①;
②;
③.
判定規(guī)則為:若同時滿足上述三個式子,則設備等級為甲;若僅滿足其中兩個,則等級為乙,若僅滿足其中一個,則等級為丙;若全部都不滿足,則等級為了.試判斷設備的性能等級.
(Ⅱ)將直徑尺寸在之外的零件認定為是“次品”.
①從設備的生產(chǎn)流水線上隨機抽取2個零件,求其中次品個數(shù)的數(shù)學期望;
②從樣本中隨意抽取2個零件,求其中次品個數(shù)的數(shù)學期望.
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【題目】已知橢圓E: 經(jīng)過點P(2,1),且離心率為.
(Ⅰ)求橢圓的標準方程;
(Ⅱ)設O為坐標原點,在橢圓短軸上有兩點M,N滿足,直線PM、PN分別交橢圓于A,B.探求直線AB是否過定點,如果經(jīng)過定點請求出定點的坐標,如果不經(jīng)過定點,請說明理由.
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【題目】2019年10月20日,第六屆世界互聯(lián)網(wǎng)大會發(fā)布了15項“世界互聯(lián)網(wǎng)領先科技成果”,其中有5項成果均屬于芯片領域,分別為華為高性能服務器芯片“鯤鵬920”、清華大學“面向通用人工智能的異構(gòu)融合天機芯片”、“特斯拉全自動駕駛芯片”、寒武紀云端AI芯片、“思元270”、賽靈思“Versal自適應計算加速平臺”.現(xiàn)有3名學生從這15項“世界互聯(lián)網(wǎng)領先科技成果”中分別任選1項進行了解,且學生之間的選擇互不影響,則至少有1名學生選擇“芯片領域”的概率為( )
A.B.C.D.
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【題目】如圖,已知圓柱內(nèi)有一個三棱錐,為圓柱的一條母線,,為下底面圓的直徑,,.
(1)在圓柱的上底面圓內(nèi)是否存在一點,使得平面?證明你的結(jié)論.
(2)設點為棱的中點,,求平面與平面所成銳二面角的余弦值.
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