Question

6．已知f（x）=ax-lnx．
（1）討論f（x）單調(diào)性；
（2）當a＞0時，已知f（x₁）=f（x₂），x₁≠x₂，求證：x₁+x₂＞$\frac{2}{a}$．

Answer 1

分析 （1）求出導函數(shù)，根據(jù)導函數(shù)的正負判斷原函數(shù)的單調(diào)性；
（2）構(gòu)造函數(shù)$h（x）=f（x）-f（\frac{2}{a}-x）\;\;\;0＜x≤\frac{1}{a}$，利用導函數(shù)判斷h（x）的單調(diào)性，得出h（x）≥0，進而得出f（x）≥f（$\frac{2}{a}$-x），利用單調(diào)性得出結(jié)論．

解答 解：（1）f'（x）=a-$\frac{1}{x}$，函數(shù)的定義域為（0，+∞）
當a≤0時，f'（x）≤0，f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞減．
當a＞0時，令f'（x）=0，即a-$\frac{1}{x}$=0，x=$\frac{1}{a}$
∴（0，$\frac{1}{a}$）上，f'（x）＜0，f（x）在（0，$\frac{1}{a}$）上遞減，
在（$\frac{1}{a}$，+∞）上，f'（x）＞0，f（x）遞增．
證明：（2）不妨設(shè)x₂＞x₁＞0，則由①可知$0＜{x_1}＜\frac{1}{a}，\;\;{x_2}＞\frac{1}{a}$
設(shè)$h（x）=f（x）-f（\frac{2}{a}-x）\;\;\;0＜x≤\frac{1}{a}$=$2ax-lnx+ln（\frac{2}{a}-x）-2$
$\begin{array}{l}∴h'（x）=-\frac{{{{（ax-1）}^2}}}{x（2-ax）}≤0\\∴h（x）在（0，\frac{1}{a}）內(nèi)遞減\\∴h（x）≥h（\frac{1}{a}）=0\\∴f（x）≥f（\frac{2}{a}-x），\;\;x∈（0，\;\;\frac{1}{a}]\end{array}$
$\begin{array}{l}又∵{x_1}∈（0，\frac{1}{a}）\\∴f（{x_1}）＞f（\frac{2}{a}-{x_1}）\\∵f（{x_1}）=f（{x_2}）\\∴f（{x_2}）＞f（\frac{2}{a}-{x_1}）\end{array}$
又$\frac{2}{a}-{x_1}＞\frac{1}{a}，\;\;{x_2}＞\frac{1}{a}$
且由（1）可知f（x）在（$\frac{1}{a}$，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增
$\begin{array}{l}∴{x_2}＞\frac{2}{a}-{x_1}\\∴{x_1}+{x_2}＞\frac{2}{a}\end{array}$
∴原不等式成立

點評 考查了導函數(shù)的應用，難點是函數(shù)的構(gòu)造，難度較大．