Question

1．在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C：$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1的右頂點(diǎn)是A、上頂點(diǎn)是B．
（1）求以AB為直徑的圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）過點(diǎn)D（0，2）且斜率為k（k＞0）的直線l交曲線C于兩點(diǎn)M，N且$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=0，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）求出圓心與半徑，即可求以AB為直徑的圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）直線l：y=kx+2聯(lián)立C整理得（1+4k²）x²+16kx+12=0，利用向量知識(shí)及韋達(dá)定理，求出k，即可求直線l的方程．

解答 解：（1）依題意點(diǎn)A（2，0）、B（0，1）（1分）
故線段AB的中點(diǎn)E（1，$\frac{1}{2}$），（2分）
所求圓E的半徑r=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，（3分）
故圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x-1）²+（y-$\frac{1}{2}$）²=$\frac{5}{4}$    （4分）
（2）依題意，直線l：y=kx+2         （5分）
聯(lián)立C整理得（1+4k²）x²+16kx+12=0，（6分）
此時(shí)△=16（4k²-3）＞0，又k＞0，故k＞$\frac{\sqrt{3}}{2}$．       （7分）
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則x₁+x₂=-$\frac{16k}{1+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{12}{1+4{k}^{2}}$（9分）
$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=x₁x₂+y₁y₂=2k（x₁+x₂）+（1+k²）x₁x₂+4=$\frac{16-4{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$=0，
由k＞0得k=2               （11分）
故所求直線l的方程是y=2x+2．（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓的方程，考查直線與圓的位置關(guān)系，考查向量知識(shí)、韋達(dá)定理的運(yùn)用，屬于中檔題．