Question

f（x）、g（x）分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，當x＜0時f′（x）g（x）+f（x）g′（x）＞0，且f（-1）=0，則不等式f（x）g（x）＜0的解集是

 

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Answer 1

考點：函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：由已知分析出f（x）g（x）的奇偶性，進而分析出函數(shù)的單調(diào)性和零點，可得不等式f（x）g（x）＜0的解集．

解答： 解：∵f（x）、g（x）分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，
故f（x）g（x）是奇函數(shù)，
又∵當x＜0時f′（x）g（x）+f（x）g′（x）=[f（x）g（x）]′＞0，
故f（x）g（x）在（-∞，0）上為增函數(shù)，
則f（x）g（x）在（0，+∞）上也為增函數(shù)，
又由f（-1）=0，
故f（-1）g（-1）=f（1）g（1）=0，
故當x∈（-∞，-1）∪（0，1）時，f（x）g（x）＜0，
故答案為：（-∞，-1）∪（0，1）

點評：本題考查的知識點是函數(shù)的奇偶性，函數(shù)的單調(diào)性，導數(shù)的運算性質(zhì)，是函數(shù)和導數(shù)的簡單綜合應用，難度中檔．