Question

【題目】已知：函數(shù)，數(shù)列對(duì)，總有；

（1）求的通項(xiàng)公式；

（2）設(shè)是數(shù)列的前項(xiàng)和，且，求的取值范圍；

（3）若數(shù)列滿足：①為的子數(shù)列（即中每一項(xiàng)都是的項(xiàng)，且按在中的順序排列）；②為無窮等比數(shù)列，它的各項(xiàng)和為，這樣的數(shù)列是否存在？若存在，求出所有符合條件的數(shù)列.寫出它的通項(xiàng)公式，并證明你的結(jié)論；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2） ；（3）存在，或.

【解析】

（1）可證為等差數(shù)列，從而可求其通項(xiàng).

（2）先求出，再求出，化簡(jiǎn)后利用基本極限可得所求的極限（與有關(guān)），解關(guān)于的不等式后可得所求的范圍.

（3）先證明無窮等比數(shù)列的公比為且為奇數(shù)，再就分類討論可求的通項(xiàng).

（1）因?yàn)?/span>，故即，所以為等差數(shù)列，

故即.

（2），

所以

，

因?yàn)?/span>，所以，

所以即，

所以的取值范圍為.

（3）設(shè)的公比為且為互素的奇數(shù)，，

則對(duì)于任意，總有，

所以，

若，因?yàn)?/span>互素，有因數(shù)，但為有限數(shù)，矛盾， 故.

故公比.

當(dāng)時(shí)，無窮等比數(shù)列的各項(xiàng)之和為，故，

此時(shí).

當(dāng)時(shí)，無窮等比數(shù)列的各項(xiàng)之和為，故（舍）.

當(dāng)時(shí)，無窮等比數(shù)列的各項(xiàng)之和為，故.

此時(shí).

當(dāng)時(shí)，無窮等比數(shù)列的各項(xiàng)之和為，故,

所以，

若，則無窮等比數(shù)列的各項(xiàng)之和為，舍；

若，則無窮等比數(shù)列的各項(xiàng)之和為，舍.

綜上，所求的無窮等比數(shù)列的通項(xiàng)為后.