Question

15．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}|x|，x≤1\\{x^2}-2mx+4m，x＞1\end{array}$，若存在實(shí)數(shù)b，使得關(guān)于x的方程f（x）=b有三個(gè)不同的根，則m的取值范圍是（　�。�

• A． R
• B． （-∞，0）
• C． （1，+∞）
• D． （-∞，0）∪（1，+∞）

Answer 1

分析 通過(guò)作圖可知，“關(guān)于x的方程f（x）=b有三個(gè)不同的根”等價(jià)于“y=f（x）的圖象和直線y=b有三個(gè)不同的交點(diǎn)”，記g（x）=x²-2mx+4m（x＞1），分m≤1、m＞1兩種情況討論即可．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}|x|，x≤1\\{x^2}-2mx+4m，x＞1\end{array}$，
∴當(dāng)x≤1時(shí)，函數(shù)f（x）的圖象可以畫(huà)出，
當(dāng)x＞1時(shí)，函數(shù)f（x）的圖象是開(kāi)口向上、對(duì)稱(chēng)軸為x=m的拋物線的一部分，
從圖象上看，“關(guān)于x的方程f（x）=b有三個(gè)不同的根”等價(jià)于“y=f（x）的圖象和直線y=b有三個(gè)不同的交點(diǎn)”，
記g（x）=x²-2mx+4m（x＞1），則：
（1）當(dāng)m≤1時(shí)，g（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，
∴g（1）＜1，即1-2m+4m＜1，解得：m＜0；
（2）當(dāng)m＞1時(shí)，此時(shí)顯然滿(mǎn)足題意；
綜上所述，m＜0或m＞1，
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查根的存在性及個(gè)數(shù)的判斷，考查數(shù)形結(jié)合能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．