Question

5．如圖，幾何體E-ABCD是四棱錐，△ABD為正三角形，CB=CD=1，EC⊥BD，∠BCD=120°，EA=2，M是EC上的點(diǎn)，且EM=3MC．
（1）求證：BD⊥平面AEC；
（2）求BM與平面AEC所成角的正切值．

Answer 1

分析 （1）連接AC交BD于O，利用三角形全等得出O為BD的中點(diǎn)，得出BD⊥AO，結(jié)合BD⊥EC得出BD⊥平面AEC；
（2）連接OM，則∠BMO即為BM與平面AEC所成的角，利用相似比求出OM，根據(jù)勾股定理計(jì)算OB，即可得出tan∠OMB．

解答 解：（1）連接AC交BD于O，
∵AB=AD，BC=CD，AC為公共邊，
∴△ABC≌△ADC，∴∠DAO=∠BAO，
∴O為BD的中點(diǎn)，
∴AO⊥BD，又EC⊥BD，EC∩AC=C，
∴BD⊥平面AEC．
（2）連接MO，由（1）得BD⊥平面AEC，
∴∠BMO即為BM與平面AEC所成的角．
∵CB=CD=1，∠BCD=120°，∴$CO=\frac{1}{2}$，$BO=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，$AO=\frac{3}{2}$．
∴$\frac{AO}{CO}=\frac{EM}{CM}=3$，從而OM∥AE，∴$OM=\frac{1}{4}AE=\frac{1}{2}$．
∴$tan∠BMO=\frac{BO}{MO}=\frac{{\frac{{\sqrt{3}}}{2}}}{{\frac{1}{2}}}=\sqrt{3}$．

點(diǎn)評 本題你考查了線面垂直的判定，線面角的計(jì)算，屬于中檔題．