【題目】如圖,四棱錐中,底面是平行四邊形, , 平面底面,且是邊長為的等邊三角形, , 是 中點.
(1)求證:平面平面;
(2)證明: , 且與的面積相等.
【答案】(1)見解析(2)見解析
【解析】試題分析:(1)由正三角形性質(zhì)得PM⊥AD,再根據(jù)面面垂直性質(zhì)定理得PM⊥底面ABCD,即得PM⊥BM,利用勾股定理得BM⊥AD,最后根據(jù)線面垂直判定定理得BM⊥平面PAD,由面面垂直判定定理得結(jié)論(2)利用余弦定理求兩角余弦值,結(jié)合余弦函數(shù)單調(diào)性確定兩角大小,根據(jù)三角形面積公式計算面積,可證相等
試題解析: 解:(1) △PAD是邊長為2的等邊三角形, M是AD中點
PM⊥AD, PM平面PAD
又平面PAD⊥底面ABCD PM⊥底面ABCD
平面PAD∩底面ABCD=AD
又BM底面ABCD, PM⊥BM, △PMB是直角三角形
在等邊△PAD中,PM=,又PB=, MB=
∠BAD=60○, 在△ABM中, 由余弦定理:MB2 = AM2+AB2-2AM×AB×cos60○
得:AB2 - AB -2=0, 即AB=2, △ABD也是等邊三角形,
BM⊥AD
平面PAD∩底面ABCD=AD BM⊥平面PAD
BM底面ABCD BM平面PMB 平面PMB⊥平面PAD
(Ⅱ)由(Ⅰ)知底面ABCD是菱形. 連接CM, 在△DMC中,∠MDC=120○,
由余弦定理:MC2 = MD2+CD2-2MD×CD×cos120○ =12+ 22-2×1×2×=7
得: MC=, 在直角形△PMC中, :PC2 =PM2+MC2=
在△PDC中,由余弦定理:
在△PAB中,由余弦定理:
, ,余弦函數(shù)在是減函數(shù)
∠PDC >∠PAB,
而,
,即△PDC與△PAB面積相等.
(注:沒有通過計算出面積,能夠說明面積相等原因的,仍然是滿分)
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓: 的焦點的坐標(biāo)為, 的坐標(biāo)為,且經(jīng)過點, 軸.
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè)過的直線與橢圓交于兩不同點,在橢圓上是否存在一點,使四邊形為平行四邊形?若存在,求出直線的方程;若不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在小明的婚禮上,為了活躍氣氛,主持人邀請10位客人做一個游戲.第一輪游戲中,主持人將標(biāo)有數(shù)字1,2,…,10的十張相同的卡片放入一個不透明箱子中,讓客人依次去摸,摸到數(shù)字6,7,…,10的客人留下,其余的淘汰,第二輪放入1,2,…,5五張卡片,讓留下的客人依次去摸,摸到數(shù)字3,4,5的客人留下,第三輪放入1,2,3三張卡片,讓留下的客人依次去摸,摸到數(shù)字2,3的客人留下,同樣第四輪淘汰一位,最后留下的客人獲得小明準(zhǔn)備的禮物.已知客人甲參加了該游戲.
(1)求甲拿到禮物的概率;
(2)設(shè)表示甲參加游戲的輪數(shù),求的概率分布和數(shù)學(xué)期望.
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【題目】選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在極坐標(biāo)系中,圓的圓心坐標(biāo)為,半徑為2.以極點為原點,極軸為的正半軸,取相同的長度單位建立平面直角坐標(biāo)系,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).
(1)求圓的極坐標(biāo)方程;
(2)設(shè)與圓的交點為, 與軸的交點為,求.
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【題目】已知曲線, ,則下列說法正確的是( )
A. 把上各點橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍,縱坐標(biāo)不變,再把得到的曲線向右平移個單位長度,得到曲線
B. 把上各點橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍,縱坐標(biāo)不變,再把得到的曲線向右平移個單位長度,得到曲線
C. 把曲線向右平移個單位長度,再把得到的曲線上各點橫坐標(biāo)縮短到原來的,縱坐標(biāo)不變,得到曲線
D. 把曲線向右平移個單位長度,再把得到的曲線上各點橫坐標(biāo)縮短到原來的,縱坐標(biāo)不變,得到曲線
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【題目】選修4-5:不等式選講
已知函數(shù).
(1)解不等式;
(2)若關(guān)于的方程的解集為空集,求實數(shù)的取值范圍.
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【題目】如圖,在四棱錐中, 是正三角形, 是等腰三角形, , .
(1)求證: ;
(2)若, ,平面平面,直線與平面所成的角為45°,求二面角的余弦值.
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【題目】已知橢圓()的左、右焦點分別為、,設(shè)點,在中, ,周長為.
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè)不經(jīng)過點的直線與橢圓相交于、兩點,若直線與的斜率之和為,求證:直線過定點,并求出該定點的坐標(biāo);
(3)記第(2)問所求的定點為,點為橢圓上的一個動點,試根據(jù)面積的不同取值范圍,討論存在的個數(shù),并說明理由.
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【題目】已知橢圓:的左、右有頂點分別是、,上頂點是,圓:的圓心到直線的距離是,且橢圓的右焦點與拋物線的焦點重合.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)平行于軸的動直線與橢圓和圓在第一象限內(nèi)的交點分別為、,直線、與軸的交點記為,.試判斷是否為定值,若是,證明你的結(jié)論.若不是,舉反例說明.
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