【題目】已知橢圓)的左、右焦點(diǎn)分別為、,設(shè)點(diǎn),在中, ,周長(zhǎng)為.

1)求橢圓的方程;

2)設(shè)不經(jīng)過點(diǎn)的直線與橢圓相交于、兩點(diǎn),若直線的斜率之和為,求證:直線過定點(diǎn),并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo);

3)記第(2)問所求的定點(diǎn)為,點(diǎn)為橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),試根據(jù)面積的不同取值范圍,討論存在的個(gè)數(shù),并說明理由.

【答案】(1);(2)過定點(diǎn);(3)見解析.

【解析】試題分析:(1)由題意布列關(guān)于的方程組,從而得到橢圓方程;(2) 設(shè)直線方程: ,聯(lián)立方程可得: ,利用根與系數(shù)的關(guān)系及,得到過定點(diǎn).3設(shè)直線與橢圓相切, ,兩切線到的距離分別為,根據(jù)面積的不同取值范圍,討論存在的個(gè)數(shù).

試題解析:

1得: ,所以………

周長(zhǎng)為,所以………

①②方程組,得

所以橢圓方程為

2設(shè)直線方程: ,交點(diǎn)

依題: 即:

過定點(diǎn).

3

設(shè)直線與橢圓相切,

得兩切線到的距離分別為

當(dāng)時(shí), 個(gè)數(shù)為0個(gè)

當(dāng)時(shí), 個(gè)數(shù)為1個(gè)

當(dāng)時(shí), 個(gè)數(shù)為2個(gè)

當(dāng)時(shí), 個(gè)數(shù)為3個(gè)

當(dāng)時(shí), 個(gè)數(shù)為4個(gè)

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