Question

15．在四棱錐P-ABCD中，PC⊥底面ABCD，M，N分別是PD，PA的中點，AC⊥AD，∠ACD=∠ACB=60°，PC=AC．
（1）求證：PA⊥平面CMN；
（2）求證：AM∥平面PBC．

Answer 1

分析 （1）推導出MN∥AD，PC⊥AD，AD⊥AC，從而AD⊥平面PAC，進而AD⊥PA，MN⊥PA，再由CN⊥PA，能證明PA⊥平面CMN．
（2）取CD的中點為Q，連結(jié)MQ、AQ，推導出MQ∥PC，從而MQ∥平面PBC，再求出AQ∥平面，從而平面AMQ∥平面PCB，由此能證明AM∥平面PBC．

解答 證明：（1）∵M，N分別為PD、PA的中點，
∴MN為△PAD的中位線，∴MN∥AD，
∵PC⊥底面ABCD，AD?平面ABCD，∴PC⊥AD，
又∵AD⊥AC，PC∩AC=C，∴AD⊥平面PAC，
∴AD⊥PA，∴MN⊥PA，
又∵PC=AC，N為PA的中點，∴CN⊥PA，
∵MN∩CN=N，MN?平面CMN，CM?平面CMN，
∴PA⊥平面CMN．
解（2）取CD的中點為Q，連結(jié)MQ、AQ，
∵MQ是△PCD的中位線，∴MQ∥PC，
又∵PC?平面PBC，MQ?平面PBC，∴MQ∥平面PBC，
∵AD⊥AC，∠ACD=60°，∴∠ADC=30°．
∴∠DAQ=∠ADC=30°，∴∠QAC=∠ACQ=60°，
∴∠ACB=60°，∴AQ∥BC，
∵AQ?平面PBC，BC?平面PBC，∴AQ∥平面PBC，
∵MQ∩AQ=Q，∴平面AMQ∥平面PCB，
∵AM?平面AMQ，∴AM∥平面PBC．

點評 本題考查線面垂直、線面平行的證明，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系，考查推理論證能力、運算求解能力、空間想象能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題．