Question

已知定義域為R的函數(shù)f（x）=

-2x+b

2x+1+2

是奇函數(shù)．
（1）求b的值；
（2）判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（3）若對任意的t∈R，不等式恒成立f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0，求k的取值范圍．

Answer 1

考點：函數(shù)恒成立問題,函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專題：綜合題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）利用奇函數(shù)定義，在f（-x）=-f（x）中的運用特殊值求ab的值；
（2）由（1）知f（x）=

-2x+1

2x+1+2

=-

1

2

+

1

2x+1

，課確定函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（3）由（2）結(jié)合奇函數(shù)的性質(zhì)把不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的一元二次不等式，最后由一元二次不等式知識求出k的取值范圍．

解答： 解：（1）因為f（x）是奇函數(shù)，所以f（0）=0，
即

-1+b

2+2

=0，∴b=1
經(jīng)檢驗b=1時，f（x）=

-2x+1

2x+1+2

是奇函數(shù)．
（2）由（1）知f（x）=

-2x+1

2x+1+2

=-

1

2

+

1

2x+1

，
易知f（x）在（-∞，+∞）上為減函數(shù)．
（3）又因為f（x）是奇函數(shù)，
所以f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0
等價于f（t²-2t）＜-f（2t²-k）=f（k-2t²），
因為f（x）為減函數(shù)，由上式可得：t²-2t＞k-2t²．
即對一切t∈R有：3t²-2t-k＞0，
從而判別式△=4+12k＜0，所以k＜-

1

3

．
所以k的取值范圍是k＜-

1

3

．

點評：本題主要考查函數(shù)奇偶性與單調(diào)性的綜合應(yīng)用；同時考查一元二次不等式恒成立問題的解決策略．