Question

11．已知函數(shù)f（x）=xlnx．
（Ⅰ）求曲線y=f（x） 在點（1，0）處的切線方程；
（Ⅱ）設(shè)函數(shù)g（x）=f（x）-a（x-1）其中a∈R，求函數(shù)g（x） 在[1，e]上的最小值．（其中e 為自然對數(shù)的底數(shù)）

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求出切線的斜率，代入切線方程即可；
（Ⅱ）由已知得g′（x）=lnx+1-a，由g′（x）=0時，x=e^a-1．由此利用分類討論思想和導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出函數(shù)g（x）在[1，e]上的最小值．

解答 解：（I）由 f′（x）=lnx+1，得切線的斜率為 k=f′（1）=1，
又切線 l過點 （0，-1），所以直線 l的方程為y=x-1；
（II）∵f（x）=xlnx，
∴g（x）=f（x）-a（x-1）=xlnx-a（x-1），
∴g′（x）=lnx+1-a，
∴g′（x）=0時，x=e^a-1．
∴①當(dāng)e^a-1＜1時，即a＜1時，
g（x）在[1，e]上單調(diào)遞增，故在x=1處取得最小值為0；
②當(dāng)1≤e a-1≤e時，即1≤a≤2時，
g（x）在[1，e]內(nèi)，當(dāng)x=e^a-1取最小值為：
e^a-1（a-1）-ae^a-1+a=a-e^a-1；
③當(dāng)e^a-1＞e時，即a＞2時，
g（x）在[1，e]內(nèi)單調(diào)遞減，
故在x=e處取得最小值為e-a（e-1）=（1-a）e+a．

點評 本題考查函數(shù)極值點的求法，考查函數(shù)的最小值的求法，解題時要認真審題，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運用．