Question

20．設F₁，F₂為橢圓$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的左、右焦點，過右焦點的直線l與橢圓$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）交于A，B兩點，與y軸交于M點，且滿足$\overrightarrow{A{F_2}}$=3$\overrightarrow{{F_2}B}$，$\overrightarrow{MA}$=$\overrightarrow{A{F_2}}$，則橢圓的離心率為$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

Answer 1

分析 由題意畫出圖形，得到A的橫坐標，代入橢圓方程求得A的縱坐標，結合$\overrightarrow{A{F_2}}$=3$\overrightarrow{{F_2}B}$求得B的坐標，代入橢圓方程整理得答案．

解答 解：如圖，
∵$\overrightarrow{MA}$=$\overrightarrow{A{F_2}}$，∴A為MF₂的中點，則${x}_{A}=\frac{c}{2}$，
代入$\frac{{c}^{2}}{4{a}^{2}}+\frac{{{y}_{A}}^{2}}{^{2}}=1$，得${{y}_{A}}^{2}=\frac{^{2}（3{a}^{2}+^{2}）}{4{a}^{2}}$，∴${y}_{A}=-\frac{2a}\sqrt{3{a}^{2}+^{2}}$，
設B（x_B，y_B），則$\overrightarrow{A{F}_{2}}=（\frac{c}{2}，\frac{2a}\sqrt{3{a}^{2}+^{2}}）$，$\overrightarrow{{F}_{2}B}=（{x}_{B}-c，{y}_{B}）$，
由$\overrightarrow{A{F_2}}$=3$\overrightarrow{{F_2}B}$，得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{c}{2}=3{x}_{B}-3c}\\{\frac{2a}\sqrt{3{a}^{2}+^{2}}=3{y}_{B}}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{B}=\frac{7c}{6}}\\{{y}_{B}=\frac{6a}\sqrt{3{a}^{2}+^{2}}}\end{array}\right.$，
代入橢圓方程可得：$\frac{49{c}^{2}}{36{a}^{2}}+\frac{^{2}（3{a}^{2}+^{2}）}{36{a}^{2}^{2}}=1$，整理得：3c²=2a²，即$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{6}}{3}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

點評 本題考查橢圓的簡單性質，考查了直線與橢圓位置關系的應用，訓練了平面向量在求解圓錐曲線問題中的應用，是中檔題．