Question

3．已知函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx-a²-7a在x=1處取得極小值10，則$\frac{a}$的值為-$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 由于f′（x）=3x²+2ax+b，依題意知，f′（1）=3+2a+b=0，f（1）=1+a+b-a²-7a=10，于是有b=-3-2a，代入f（1）=10即可求得a，b，從而可得答案．

解答 解：∵f（x）=x³+ax²+bx-a²-7a，
∴f′（x）=3x²+2ax+b，
又f（x）=x³+ax²+bx-a²-7a在x=1處取得極小值10，
∴f′（1）=3+2a+b=0，f（1）=1+a+b-a²-7a=10，
∴a²+8a+12=0，
∴a=-2，b=1或a=-6，b=9．
當(dāng)a=-2，b=1時，f′（x）=3x²-4x+1=（3x-1）（x-1），
當(dāng)$\frac{1}{3}$＜x＜1時，f′（x）＜0，當(dāng)x＞1時，f′（x）＞0，
∴f（x）在x=1處取得極小值，與題意符合；
當(dāng)a=-6，b=9時，f′（x）=3x²-12x+9=3（x-1）（x-3）
當(dāng)x＜1時，f′（x）＞0，當(dāng)1＜x＜3時，f′（x）＜0，
∴f（x）在x=1處取得極大值，與題意不符；
∴$\frac{a}$=-$\frac{1}{2}$，
故答案為：-$\frac{1}{2}$．

點評 本題考查函數(shù)在某點取得極值的條件，求得f′（x）=3x²+2ax+b，利用f′（1）=0，f（1）=10求得a，b是關(guān)鍵，考查分析、推理與運算能力，屬于中檔題．