Question

15．已知四棱錐P-ABCD中，底面為矩形，PA⊥底面ABCD，PA=BC=1，AB=2，M為PC上一點(diǎn)，且BP⊥平面ADM．
（1）求PM的長度；
（2）求MD與平面ABP所成角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）建立空間直角坐標(biāo)系，令$\overrightarrow{PM}$=λ$\overrightarrow{PC}$，利用BP⊥平面ADM且$\overrightarrow{BP}$=（-2，0，1），求出λ，即可求PM的長度；
（2）利用向量的夾角公式求MD與平面ABP所成角的余弦值．

解答 解：（1）如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，
由已知A（0，0，0），B（2，0，0），P（0，0，1），D（0，1，0），C（2，1，0）．
令$\overrightarrow{PM}$=λ$\overrightarrow{PC}$，因?yàn)?\overrightarrow{PC}$=（2，1，-1），所以$\overrightarrow{PM}$=（2λ，λ，-λ），
則M（2λ，λ，-λ），
因?yàn)锽P⊥平面ADM且$\overrightarrow{BP}$=（-2，0，1）．
所以-5λ+1=0，
則λ=$\frac{1}{5}$．即PM的長為$\frac{\sqrt{6}}{5}$．（6分）
（2）因?yàn)镸（0，4，0.2，0.8），則$\overrightarrow{MD}$=（-0.4，0.2，0.8），
因?yàn)槊鍭BP的一個法向量$\overrightarrow{n}$=（0，1，0），令MD與平面ABP所成角為θ，
則sinθ=$\frac{0.8}{\sqrt{0.16+0.04+0.64}}$=$\frac{2}{3}$，故cosθ=$\frac{\sqrt{5}}{3}$．（12分）

點(diǎn)評 本題考查線面垂直，考查線面角，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．