Question

3．求下列函數(shù)的值域：
（1）y=$\frac{1-{x}^{2}}{1+{x}^{2}}$；                    
（2）y=$\sqrt{-2{x}^{2}+x+3}$．

Answer 1

分析 （1）利用分離常數(shù)法轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求函數(shù)的值域．
（2）利用配方求二次函數(shù)來求函數(shù)的值域．

解答 解：（1）y=$\frac{1-{x}^{2}}{1+{x}^{2}}$；        
化簡(jiǎn)：y=$\frac{1-{x}^{2}}{1+{x}^{2}}$=$\frac{2-（1+{x}^{2}）}{1+{x}^{2}}$=-1$+\frac{2}{1+{x}^{2}}$
∵1+x²≥1，
∴$0＜\frac{2}{{x}^{2}+1}≤2$
故得函數(shù)y的范圍是-1＜y≤1，即函數(shù)的值域?yàn)椋?1，1]．
（2）y=$\sqrt{-2{x}^{2}+x+3}$．
∵-2x²+x+3≥0，
∴y≥0
∵-2x²+x+3=$-2（x-\frac{1}{2}）^{2}+\frac{25}{8}$$≤\frac{25}{8}$
∴y≤$\sqrt{\frac{25}{8}}$=$\frac{5\sqrt{2}}{4}$
故得函數(shù)y的范圍是0≤y≤$\frac{5\sqrt{2}}{4}$，即函數(shù)的值域?yàn)閇0，$\frac{5\sqrt{2}}{4}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)值域的求法．高中函數(shù)值域求法有：1、觀察法，2、配方法，3、反函數(shù)法，4、判別式法；5、換元法，6、數(shù)形結(jié)合法，7、不等式法，8、分離常數(shù)法，9、單調(diào)性法，10、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的值域，11、最值法，12、構(gòu)造法，13、比例法．要根據(jù)題意選擇．