Question

4．若存在正實數(shù)x₀使e${\;}^{{x}_{0}}$（x₀-a）＜2（其中e是自然對數(shù)的底數(shù)，e=2.71828…）成立，則實數(shù)a的取值范圍是（-2，+∞）．

Answer 1

分析 由求導公式和法則求出f′（x），化簡后根據(jù)導數(shù)的符號判斷出f（x）的單調性，對a進行分類討論，根據(jù)函數(shù)的單調性求出函數(shù)的最小值，由條件和存在性問題列出不等式，求出實數(shù)a的取值范圍．

解答 解：由題意設f（x）=e^x（x-a）-2，
則f′（x）=e^x（x-a+1），由f′（x）=0得，x=a-1，
當x∈（-∞，a-1）時，f′（x）＜0，則f（x）是減函數(shù)，
當x∈（a-1，+∞）時，f′（x）＞0，則f（x）是增函數(shù)，
①當a-1≤0時，則a≤1，f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，
∵存在正實數(shù)x₀使e${\;}^{{x}_{0}}$（x₀-a）＜2成立，
∴函數(shù)的最小值是f（0）=-a-2＜0，解得a＞-2，即-2＜a≤1；
②當a-1＞0時，則a＞1，
f（x）在（0，a-1）是減函數(shù)，在（a-1，+∞）上是增函數(shù)，
∵存在正實數(shù)x₀使e${\;}^{{x}_{0}}$（x₀-a）＜2成立，
∴函數(shù)的最小值是f（a-1）=e^a-1（a-1-a）-2＜0，
即-e^a-1-2＜0恒成立，
則a＞1，
綜上可得，實數(shù)a的取值范圍是（-2，+∞）．

點評 本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性、最值問題，存在性問題的轉化，以及構造函數(shù)法，考查分類討論思想，轉化思想．