Question

16．某汽車駕駛學(xué)校在學(xué)員結(jié)業(yè)前對其駕駛技術(shù)進(jìn)行4次考核，規(guī)定：按順序考核，一旦考核合格就不必參加以后的考核，否則還需要參加下次考核，若小李參加每次考核合格的概率依次組成一個(gè)公差為$\frac{1}{8}$的等差數(shù)列，他參加第一次考核合格的概率超過$\frac{1}{2}$，且他直到參加第二次考核才合格的概率為$\frac{9}{32}$．
（1）求小李第一次參加考核就合格的概率p₁；
（2）求小李參加考核的次數(shù)X的分布列和數(shù)學(xué)期望E（X）．

Answer 1

分析 （1）由題意利用相互獨(dú)立事件概率乘法公式能求出小李第一次參加考核就合格的概率．
（2）小李4次考核每次合格的概率依次為：$\frac{5}{8}，\frac{3}{4}，\frac{7}{8}，1$，由題意小李參加考核的次數(shù)X的可能取值為1，2，3，4，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列和E（X）．

解答 解：（1）由題意得$（1-{p}_{1}）（{p}_{1}+\frac{1}{8}）=\frac{9}{32}$，
解得${p}_{1}=\frac{1}{4}$或${p}_{1}=\frac{5}{8}$，
∵他參加第一次考核合格的概率超過$\frac{1}{2}$，即${p}_{1}＞\frac{1}{2}$，
∴小李第一次參加考核就合格的概率p₁=$\frac{5}{8}$．
（2）∵小李參加每次考核合格的概率依次組成一個(gè)公差為$\frac{1}{8}$的等差數(shù)列，
且小李第一次參加考核就合格的概率p₁=$\frac{5}{8}$，
∴小李4次考核每次合格的概率依次為：$\frac{5}{8}，\frac{3}{4}，\frac{7}{8}，1$，
由題意小李參加考核的次數(shù)X的可能取值為1，2，3，4，
P（X=1）=$\frac{5}{8}$，
P（X=2）=（1-$\frac{5}{8}$）×$\frac{3}{4}$=$\frac{9}{32}$，
P（X=3）=（1-$\frac{5}{8}$）（1-$\frac{3}{4}$）×$\frac{7}{8}$=$\frac{21}{256}$，
P（X=4）=（1-$\frac{5}{8}$）（1-$\frac{3}{4}$）（1-$\frac{7}{8}$）×1=$\frac{3}{256}$，
∴X的分布列為：

X	1	2	3	4
P	$\frac{5}{8}$	$\frac{9}{32}$	$\frac{21}{256}$	$\frac{3}{256}$

E（X）=$1×\frac{5}{8}+2×\frac{9}{32}+3×\frac{21}{256}+4×\frac{3}{256}$=$\frac{379}{256}$．

點(diǎn)評 本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意相互獨(dú)立事件概率乘法公式的合理運(yùn)用．