Question

3．已知正三棱錐S-ABC底面邊長為2$\sqrt{3}$，過側棱SA與底面中心O作截面SAD，在△SAD中，若SA=AD，求側面與底面所成二面角的余弦值．

Answer 1

分析 推導出AD⊥BC，SD⊥BC，從而∠SDO是側面與底面所成二面角，由此能求出側面與底面所成二面角的余弦值．

解答 解：∵正三棱錐S-ABC底面邊長為2$\sqrt{3}$，
過側棱SA與底面中心O作截面SAD，在△SAD中，SA=AD，
∴SO⊥底面ABC，D是BC中點，
∴AD⊥BC，SD⊥BC，∴∠SDO是側面與底面所成二面角，
∵SA=AD=$\sqrt{（2\sqrt{3}）^{2}-（\sqrt{3}）^{2}}$=3，OD=$\frac{1}{3}AD=1$，
SD=$\sqrt{S{B}^{2}-B{D}^{2}}$=$\sqrt{9-3}$=$\sqrt{6}$，
∴cos∠SDO=$\frac{OD}{SD}$=$\frac{1}{\sqrt{6}}$=$\frac{\sqrt{6}}{6}$．
∴側面與底面所成二面角的余弦值為$\frac{\sqrt{6}}{6}$．

點評 本題考查二面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．