Question

設f（x）=（x+1）+（x+1）²+…+（x+1）ⁿ，且f（x）中所有項的系數(shù)和為A_n，則

lim

n→∞

An

2n

的值為（　　）

• A、2
• B、

  1

  2

• C、-

  1

  2

• D、-2

Answer 1

考點：極限及其運算,等比數(shù)列的前n項和

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（x+1）ⁿ的所有項的系數(shù)和為2ⁿ．再利用等比數(shù)列的前n項和公式可得f（x）=（x+1）+（x+1）²+…+（x+1）ⁿ，且f（x）中所有項的系數(shù)和為A_n=

2×(2n-1)

2-1

，利用數(shù)列極限運算法則即可得出．

解答： 解：∵（x+1）ⁿ的所有項的系數(shù)和為2ⁿ．
∴f（x）=（x+1）+（x+1）²+…+（x+1）ⁿ，且f（x）中所有項的系數(shù)和為A_n=2+2²+…+2ⁿ=

2×(2n-1)

2-1

=2ⁿ⁺¹-2．
∴

lim

n→∞

An

2n

=

lim

n→∞

2n+1-2

2n

=2．
故選：A．

點評：本題考查了二項式定理的性質(zhì)、等比數(shù)列的前n項和公式、數(shù)列極限運算法則，屬于基礎題．