【題目】對于函數(shù)f(x),若f(x)的圖象上存在關于原點對稱的點,則稱f(x)為定義域上的“偽奇函數(shù)”.
(1)若f(x)=ln(2x+1)+m是定義在區(qū)間[﹣1,1]上的“偽奇函數(shù)”,求實數(shù)m的取值范圍;
(2)試討論f(x)=4x﹣m2x+2+4m2﹣3在R上是否為“偽奇函數(shù)”?并說明理由.
【答案】(1);(2)當時,函數(shù)f(x)為“偽奇函數(shù)”,當時,函數(shù)f(x)不是“偽奇函數(shù)”.
【解析】
(1)等價于﹣2m=ln(2x+2﹣x+2)在[﹣1,1]上有解,令,,利用函數(shù)的單調(diào)性分析得到2ln3﹣ln2≤﹣2m≤ln4,
解之即得.(2)假設存在實數(shù)x滿足題意,等價于(2x+2﹣x)2﹣2﹣4m(2x+2﹣x)+8m2﹣6=0有解,令n=2x+2﹣x(n≥2),則需n2﹣4mn+8m2﹣8=0在[2,+∞)上有解,再分類討論得解.
(1)因為f(x)=ln(2x+1)+m是定義在區(qū)間[﹣1,1]上的“偽奇函數(shù)”,
所以存在x使得f(x)+f(﹣x)=0成立,
即﹣2m=ln(2x+2﹣x+2)在[﹣1,1]上有解,
令,,
而函數(shù)在上單調(diào)遞減,在(1,2]上單調(diào)遞增,
故由復合函數(shù)的單調(diào)性法則可知,
函數(shù)g(t)在上單調(diào)遞減,在(1,2]上單調(diào)遞增,
且,
故要使﹣2m=ln(2x+2﹣x+2)在[﹣1,1]上有解,
則2ln3﹣ln2≤﹣2m≤ln4,
解得.
(2)假設存在實數(shù)x使得4x﹣m2x+2+4m2﹣3+4﹣x﹣m2﹣x+2+4m2﹣3=0成立,
即4x+4﹣x﹣4m/span>2x﹣4m2﹣x+8m2﹣6=0,
即(2x+2﹣x)2﹣2﹣4m(2x+2﹣x)+8m2﹣6=0,
令n=2x+2﹣x(n≥2),則需n2﹣4mn+8m2﹣8=0在[2,+∞)上有解,
①當△=16m2﹣4(8m2﹣8)<0,即或時,方程n2﹣4mn+8m2﹣8=0無解,此時函數(shù)f(x)不為“偽奇函數(shù)”;
②當時,方程n2﹣4mn+8m2﹣8=0的解為滿足條件,此時函數(shù)f(x)為“偽奇函數(shù)”;
③當時,方程n2﹣4mn+8m2﹣8=0的解為不滿足條件,此時函數(shù)f(x)不為“偽奇函數(shù)”;
④當時,方程n2﹣4mn+8m2﹣8=0的解為,
解不等式或,
不等式的解為,
不等式的解為,
因為,所以.
此時方程n2﹣4mn+8m2﹣8=0在[2,+∞)上有解,此時函數(shù)f(x)為“偽奇函數(shù)”.
綜上所述,當時,函數(shù)f(x)為“偽奇函數(shù)”,當時,函數(shù)f(x)不是“偽奇函數(shù)”.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知一定點,及一定直線:,以動點為圓心的圓過點,且與直線相切.
(Ⅰ)求動點的軌跡的方程;
(Ⅱ)設在直線上,直線,分別與曲線相切于,,為線段的中點.求證:,且直線恒過定點.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在長方體ABCD﹣A1B1C1D1中,AD=AA1=1,AB=2,點E在棱AB上移動.
(1)證明:D1E⊥A1D;
(2)若EB,求二面角D1﹣EC﹣D的大小.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,圓形紙片的圓心為,半徑為,該紙片上的正方形的中心為為圓上的點,,,,分別是以為底邊的等腰三角形.沿虛線剪開后,分別以為折痕折起,,,使得重合,得到一個四棱錐.當該四棱錐的側(cè)面積是底面積的2倍時,該四棱錐的外接球的表面積為__________.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知拋物線:的焦點為,準線為,與軸的交點為,點在拋物線上,過點作于點,如圖1.已知,且四邊形的面積為.
(1)求拋物線的方程;
(2)若正方形的三個頂點,,都在拋物線上(如圖2),求正方形面積的最小值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)對于任意的,都有,當時,,且.
(1)求,的值;
(2)當時,求函數(shù)的最大值和最小值;
(3)設函數(shù),判斷函數(shù)g(x) 最多有幾個零點,并求出此時實數(shù)m的取值范圍.
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【題目】手機中的“運動”具有這樣的功能,不僅可以看自己每天的運動步數(shù),還可以看到朋友圈里好友的步數(shù).小明的朋友圈里有大量好友參與了“運動”,他隨機選取了其中30名,其中男女各15名,記錄了他們某一天的走路步數(shù),統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表所示:
男 | 0 | 2 | 4 | 7 | 2 |
女 | 1 | 3 | 7 | 3 | 1 |
(Ⅰ)以樣本估計總體,視樣本頻率為概率,在小明朋友圈里的男性好友中任意選取3名,其中走路步數(shù)低于7500步的有名,求的分布列和數(shù)學期望;
(Ⅱ)如果某人一天的走路步數(shù)超過7500步,此人將被“運動”評定為“積極型”,否則為“消極型”.根據(jù)題意完成下面的列聯(lián)表,并據(jù)此判斷能否有以上的把握認為“評定類型”與“性別”有關?
積極型 | 消極型 | 總計 | |
男 | |||
女 | |||
總計 |
附:.
0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.01 | |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 |
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在極坐標系中,已知圓的圓心為,半徑為.以極點為原點,極軸方向為軸正半軸方向,利用相同單位長度建立平面直角坐標系,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù),且).
(Ⅰ)寫出圓的極坐標方程和直線的普通方程;
(Ⅱ)若直線與圓交于、兩點,求的最小值.
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