Question

【題目】如圖，在長方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，點E在棱AB上移動．

（1）證明：D1E⊥A1D；

（2）若EB，求二面角D1﹣EC﹣D的大�。�

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）30°．

【解析】

（1）以D為原點，DA，DC，DD1所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，

設AE＝t，（0≤t≤2），證明0即得證；（2）利用向量法求二面角D1﹣EC﹣D的大�。�

證明：（1）以D為原點，DA，DC，DD1所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，

設AE＝t，（0≤t≤2），則D1（0，0，1），E（1，t，0），A1（1，0，1），D（0，0，0），

（1，t，﹣1），（﹣1，0，﹣1），

所以0，

∴D1E⊥A1D．

（2）∵EB，∴E（1，2，0），C（0，2，0），

（1，，0），（0，﹣2，1），

設平面CED1的法向量（x，y，z），

則，取y＝3，得（，6），

平面CDE的法向量（0，0，1），

設二面角D1﹣EC﹣D的平面角為θ，

則cosθ，所以θ＝30°，

∴二面角D1﹣EC﹣D的大小為30°．