Question

【題目】疫情期間，某小區(qū)超市平面圖如圖所示，由矩形與扇形組成，米，米，，經(jīng)營(yíng)者決定在點(diǎn)處安裝一個(gè)監(jiān)控?cái)z像頭，攝像頭的監(jiān)控視角，攝像頭監(jiān)控區(qū)域?yàn)閳D中陰影部分，要求點(diǎn)在弧上，點(diǎn)在線(xiàn)段上.設(shè).

（1）求該監(jiān)控?cái)z像頭所能監(jiān)控到的區(qū)域面積關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并求出的取值范圍；

（2）求監(jiān)控區(qū)域面積最大時(shí)，角的正切值.

Answer 1

【答案】（1），；

（2）

【解析】

（1）分別求得扇形和四邊形的面積，加和得到，根據(jù)矩形長(zhǎng)和寬可確定最小值，進(jìn)而確定的范圍；

（2）設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)可求得的單調(diào)性，通過(guò)求得可求得，并確定所求的的正切值.

（1）扇形的面積為.

四邊形的面積為,

陰影部分的面積為.

，其中，.

（2）設(shè)，則，

令，解得：，，

設(shè)其解為，即，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

，，此時(shí)

監(jiān)控區(qū)域面積最大時(shí)，角的正切值為.