Question

15．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x^2}+x+a，x＜0\\ lnx，x＞0\end{array}$，若函數(shù)f（x）的圖象在A(yíng)、B兩點(diǎn)處的切線(xiàn)重合，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A． （-2，-1）
• B． （1，2）
• C． （-1，+∞）
• D． （-ln2，+∞）

Answer 1

分析 先根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義寫(xiě)出函數(shù)f（x）在點(diǎn)A、B處的切線(xiàn)方程，再利用兩直線(xiàn)重合的充要條件：斜率相等且縱截距相等，列出關(guān)系式，從而得出a=lnx₂-$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{{x}_{2}}$-1）²-1，構(gòu)造h（t）=-lnt+$\frac{1}{4}$t²-$\frac{1}{2}$t-$\frac{3}{4}$，（0＜t＜1），最后利用導(dǎo)數(shù)研究它的單調(diào)性和最值，即可得出a的取值范圍．

解答 解：當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）=x²+x+a的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=2x+1；
當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=lnx的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=$\frac{1}{x}$，
設(shè)A（x₁，f（x₁）），B（x₂，f（x₂））為該函數(shù)圖象上的兩點(diǎn)，且x₁＜x₂，
當(dāng)x₁＜x₂＜0，或0＜x₁＜x₂時(shí)，f′（x₁）≠f′（x₂），故x₁＜0＜x₂，
當(dāng)x₁＜0時(shí)，函數(shù)f（x）在點(diǎn)A（x₁，f（x₁））處的切線(xiàn)方程為
y-（x₁²+x₁+a）=（2x₁+1）（x-x₁）；
當(dāng)x₂＞0時(shí)，函數(shù)f（x）在點(diǎn)B（x₂，f（x₂））處的切線(xiàn)方程為
y-lnx₂=$\frac{1}{{x}_{2}}$（x-x₂）．
兩直線(xiàn)重合的充要條件是$\frac{1}{{x}_{2}}$=2x₁+1①，lnx₂-1=-x₁²+a②，
由①及x₁＜0＜x₂得0＜$\frac{1}{{x}_{2}}$＜1，由①②得a=lnx₂-$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{{x}_{2}}$-1）²-1，
令t=$\frac{1}{{x}_{2}}$，則0＜t＜1，且a=-lnt+$\frac{1}{4}$t²-$\frac{1}{2}$t-$\frac{3}{4}$，
設(shè)h（t）=-lnt+$\frac{1}{4}$t²-$\frac{1}{2}$t-$\frac{3}{4}$，（0＜t＜1）
則h′（t）=-$\frac{1}{t}$+$\frac{1}{2}$t-$\frac{1}{2}$＜0，即h（t）在（0，1）為減函數(shù)，
則h（t）＞h（1）=-ln1-1=-1，
則a＞-1，
可得函數(shù)f（x）的圖象在點(diǎn)A，B處的切線(xiàn)重合，
a的取值范圍是（-1，+∞）．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義等基礎(chǔ)知識(shí)，考查了推理論證能力、運(yùn)算能力、創(chuàng)新意識(shí)，考查了函數(shù)與方程、分類(lèi)與整合、轉(zhuǎn)化與化歸等思想方法．