Question

6．如圖，四邊形ABCD是正方形，延長CD至E，使得DE=CD．若動點P從點A出發(fā)，沿正方形的邊按逆時針方向運動一周回到A點，其中 $\overrightarrow{AP}$=λ$\overrightarrow{AB}$+μ$\overrightarrow{AE}$，下列判斷正確的是（　　）

• A． 滿足λ+μ=2的點P必為BC的中點
• B． 滿足λ+μ=1的點P有且只有一個
• C． 滿足λ+μ=a（a＞0）的點P最多有3個
• D． λ+μ的最大值為3

Answer 1

分析 可分別以AB，AD所在直線為x軸，y軸，建立平面直角坐標系，并設正方形邊長為1，P（x，y），x，y∈[0，1]，可求A，B，E三點坐標，從而可寫出向量$\overrightarrow{AP}，\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{AE}$的坐標，帶入$\overrightarrow{AP}=λ\overrightarrow{AB}+μ\overrightarrow{AE}$便可得到（x，y）=（λ-μ，μ），從而得到$λ+μ=\left\{\begin{array}{l}{x}&{y=0}\\{1+2y}&{x=1}\\{x+2}&{y=1}\\{2y}&{x=0}\end{array}\right.$，這樣便可判斷每個選項的正誤，從而得出正確選項．

解答 解：以AB，AD所在直線分別為x，y軸，建立如圖所示平面直角坐標系，
設正方形邊長為1，P（x，y），則：
A（0，0），B（1，0），E（-1，1）；
∴$\overrightarrow{AP}=（x，y），\overrightarrow{AB}=（1，0），\overrightarrow{AE}（-1，1）$；
∴由$\overrightarrow{AP}=λ\overrightarrow{AB}+μ\overrightarrow{AE}$得，（x，y）=（λ-μ，μ）；
∴$λ+μ=x+2y=\left\{\begin{array}{l}{x}&{y=0}\\{1+2y}&{x=1}\\{x+2}&{y=1}\\{2y}&{x=0}\end{array}\right.$；
∴滿足λ+μ=2的點P有線段BC的中點和D點；
滿足λ+μ=1的點P有B點和線段AD的中點；
滿足λ+μ=a（a＞0）的點最多有2個；
x=1，y=1時，λ+μ取最大值3．
故選D．

點評 考查通過建立平面直角坐標系，利用坐標解決向量問題的方法，能求平面上點的坐標，根據(jù)點的坐標可求向量的坐標，以及向量數(shù)乘的坐標運算．