Question

【題目】已知函數(shù)y=f(x)是定義在R上的奇函數(shù),且當(dāng)x≥0時(shí),f(x)=-x2+ax.

(1)若a=-2,求函數(shù)f(x)的解析式;

(2)若函數(shù)f(x)為R上的單調(diào)減函數(shù),

①求a的取值范圍;

②若對(duì)任意實(shí)數(shù)m,f(m-1)+f(m2+t)<0恒成立,求實(shí)數(shù)t的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1) .

(2) ①a≤0. ②t> .

【解析】

本試題主要是考查了抽象函數(shù)的解析式的求解和單調(diào)性的證明以及解不等式。

（1）因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，又因?yàn)?/span>為奇函數(shù)，所以，進(jìn)而得到解析式。

（2）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性，對(duì)于參數(shù)a分為正負(fù)來討論得到取值范圍。

（3）因?yàn)?/span>，∴

所以是奇函數(shù)，∴，而又因?yàn)?/span>為上的單調(diào)遞減函數(shù)，所以恒成立，分離參數(shù)的思想得到范圍。

（1）當(dāng)時(shí)，，又因?yàn)?/span>為奇函數(shù)，

所以

所以…………………………6分

（2）①當(dāng)時(shí)，對(duì)稱軸，所以在上單調(diào)遞減，

由于奇函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上單調(diào)性相同，所以在上單調(diào)遞減，

又在上，在上，

所以當(dāng)a0時(shí)，為R上的單調(diào)遞減函數(shù)

當(dāng)a>0時(shí)，在上遞增，在上遞減，不合題意

所以函數(shù)為單調(diào)函數(shù)時(shí)，a的范圍為a………………………………………….10分

②因?yàn)?/span>，∴

所以是奇函數(shù)，∴…………………………12分

又因?yàn)?/span>為上的單調(diào)遞減函數(shù)，所以恒成立，…………………14分

所以恒成立， 所以…………………………16分