Question

【題目】如圖，四棱柱的底面為菱形， ， ， 為中點(diǎn).

（1）求證： 平面；

（2）若底面，且直線與平面所成線面角的正弦值為，求的長.

【答案】(1)證明見解析；(2)2.

【解析】試題分析：（1）設(shè)為的中點(diǎn)，根據(jù)平幾知識(shí)可得四邊形是平行四邊形，即得，再根據(jù)線面平行判定定理得結(jié)論，（2）根據(jù)條件建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)立各點(diǎn)坐標(biāo)，利用方程組解得平面一個(gè)法向量，根據(jù)向量數(shù)量積求向量夾角，再根據(jù)線面角與向量夾角互余關(guān)系列等式，解得的長.

試題解析：（1）證明：設(shè)為的中點(diǎn)，連

因?yàn)?/span>，又，所以 ，

所以四邊形是平行四邊形，

所以

又平面， 平面，

所以平面.

（2）因?yàn)?/span>是菱形，且，

所以是等邊三角形

取中點(diǎn)，則，

因?yàn)?/span>平面，

所以，

建立如圖的空間直角坐標(biāo)系，令，

則， ， ， ，

， ， ，

設(shè)平面的一個(gè)法向量為，

則且，

取，設(shè)直線與平面所成角為，

則，

解得，故線段的長為2.

【題型】解答題
【結(jié)束】
20

【題目】橢圓:的左、右焦點(diǎn)分別為、，若橢圓過點(diǎn).

（1）求橢圓的方程；

（2）若為橢圓的左、右頂點(diǎn)， （）為橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)直線分別交直線： 于點(diǎn)，判斷線段為直徑的圓是否經(jīng)過定點(diǎn)，若是，求出該定點(diǎn)坐標(biāo)；若不恒過定點(diǎn)，說明理由.

Answer 1

【答案】(1) ；(2)答案見解析.

【解析】試題分析：（1）將點(diǎn)坐標(biāo)代人橢圓方程 并與離心率聯(lián)立方程組，解得， （2）根據(jù)點(diǎn)斜式得直線方程，與直線聯(lián)立解得點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)向量關(guān)系得為直徑的圓方程，最后代人橢圓方程進(jìn)行化簡，并根據(jù)恒等式成立條件求定點(diǎn)坐標(biāo).

試題解析：(1)由已知，

∴①

∵橢圓過點(diǎn)，

∴②

聯(lián)立①②得，

∴橢圓方程為

（2）設(shè)，已知

∵，∴

∴都有斜率

∴

∴③

∵

∴④

將④代入③得

設(shè)方程

∴方程

∴

由對(duì)稱性可知，若存在定點(diǎn)，則該定點(diǎn)必在軸上，設(shè)該定點(diǎn)為

則

∴

∴，∴

∴存在定點(diǎn)或以線段為直徑的圓恒過該定點(diǎn).