Question

18、如圖，AB是圓O的的直徑，點(diǎn)C是弧AB的中點(diǎn)，D，E分別是VB，VC的中點(diǎn)，VA⊥平面ABC．
（Ⅰ）求異面直線DE與AB所成的角；
（Ⅱ）證明DE⊥平面VAC．

Answer 1

分析：（1）將ED平移到BC，易證∠ABC是異面直線DE與AB所成的角，而△ABC是以∠ACB為直角的等腰直角三角形，則∠ABC為45°
（2）欲證DE⊥平面VAC，而B(niǎo)C∥DE，可先證BC⊥平面VAC，根據(jù)線面垂直的判定定理可知只需證BC⊥VA，BC⊥AC即可．

解答：解（Ⅰ）因?yàn)镈，E分別是VB，VC的中點(diǎn)，
所以BC∥DE，因此∠ABC是異面直線DE
與AB所成的角．（3分）
又因?yàn)锳B是圓O的的直徑，點(diǎn)C是弧AB的
中點(diǎn)，所以△ABC是以∠ACB為直角的等腰直角三角形．于是∠ABC=45°．
故異面直線DE與AB所成的角為45°．（6分）
（Ⅱ）因?yàn)閂A⊥平面ABC，BC?平面ABC，所以BC⊥VA．（8分）
由（Ⅰ）知，BC⊥AC，所以BC⊥平面VAC．（10分）
又由（Ⅰ）知，BC∥DE，故DE⊥平面VAC．（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查線線，線面關(guān)系的基礎(chǔ)知識(shí)，以及直線與平面垂直的判定，同時(shí)考查空間想象能力和推理運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．