Question

1．等差數(shù)列{a_n}滿足a₅=14，a₇=20，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且b_n=2-2S_n
（I）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（II）證明：數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列，并求其通項(xiàng)公式．

Answer 1

分析 （I）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，由a₅=14，a₇=20，可得a₁+4d=14，a₁+6d=20，解得a₁，d，即可得出通項(xiàng)公式．
（II）b_n=2-2S_n，可得b₁=2-2b₁，解得b₁．n≥2時(shí)，b_n-1=2-2S_n-1，可得b_n-b_n-1=-2b_n，化為b_n=$\frac{1}{3}$b_n-1．利用等比數(shù)列的定義通項(xiàng)公式即可得出．

解答 （I）解：設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，∵a₅=14，a₇=20，
∴a₁+4d=14，a₁+6d=20，解得a₁=2，d=3．
∴a_n=2+3（n-1）=3n-1．
（II）證明：∵b_n=2-2S_n，∴b₁=2-2b₁，解得b₁=$\frac{2}{3}$．
n≥2時(shí)，b_n-1=2-2S_n-1，∴b_n-b_n-1=-2b_n，化為b_n=$\frac{1}{3}$b_n-1．
∴數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列，首項(xiàng)為$\frac{2}{3}$，公比為$\frac{1}{3}$．
∴b_n=$\frac{2}{3}×（\frac{1}{3}）^{n-1}$=2×$（\frac{1}{3}）^{n}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的定義及其通項(xiàng)公式、遞推關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．