Question

3．已知函數(shù)f（x）=x²-ax-alnx（a∈R）．
（1）若函數(shù)f（x）在x=1處取得極值，求a的值；
（2）在（1）的條件下，求證：f（x）≥$\frac{{x}^{3}}{3}$+$\frac{2{x}^{2}}{2}$-4x+$\frac{11}{6}$；
（3）當(dāng)x∈[e，+∞）時(shí)，f（x）≥0恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)f（x）在x=1處取得極值，可得f′（1）=0，即可求a的值．
（2）構(gòu)造函數(shù)，g（x）=g（x）=f（x）-（$\frac{{x}^{3}}{3}$+$\frac{2{x}^{2}}{2}$-4x+$\frac{11}{6}$）=$\frac{{x}^{3}}{3}$-$\frac{3{x}^{2}}{2}$+3x-lnx-$\frac{11}{6}$，根據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的最值的關(guān)系求出最小值即可證明．
（3）當(dāng)x∈[e，+∞），f（x）≥0恒成立，等價(jià)于a≤$\frac{{x}^{2}}{x+lnx}$在x∈[e，+∞）時(shí)恒成立，求最值，即可求a的取值范圍

解答 解：（1）f′（x）=2x-a-$\frac{a}{x}$，
由題意可得f′（1）=2-2a=0，解得a=1；
經(jīng)檢驗(yàn)，a=1時(shí)f（x）在x=1處取得極值，
所以a=1．
（2）由（1）知，f（x）=x²-x-lnx，x＞0，
令g（x）=f（x）-（$\frac{{x}^{3}}{3}$+$\frac{2{x}^{2}}{2}$-4x+$\frac{11}{6}$）=$\frac{{x}^{3}}{3}$-$\frac{3{x}^{2}}{2}$+3x-lnx-$\frac{11}{6}$，
則g′（x）=x²-3x+3-$\frac{1}{x}$=$\frac{（x-1）^{3}}{x}$，
可知g（x）在（0，1）為減函數(shù)，在（1，+∞）為增函數(shù)，
所以g（x）≥g（1）=0，
故：f（x）≥$\frac{{x}^{2}}{3}$+$\frac{2{x}^{2}}{2}$-4x+$\frac{11}{6}$；
（3）由x∈[e，+∞）知，x+lnx＞0，
所以f（x）≥0恒成立等價(jià)于a≤$\frac{{x}^{2}}{x+lnx}$在x∈[e，+∞）時(shí)恒成立，
令h（x）=$\frac{{x}^{2}}{x+lnx}$，x∈[e，+∞），
有h′（x）=$\frac{x（x-1+2lnx）}{（x+lnx）^{2}}$＞0，
所以h（x）在[e，+∞）上是增函數(shù)，
有h（x）≥h（e）=$\frac{{e}^{2}}{e+1}$，
所以a≤$\frac{{e}^{2}}{e+1}$

點(diǎn)評(píng) 本小題主要考查函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用能力，具體涉及到用導(dǎo)數(shù)來(lái)描述原函數(shù)的單調(diào)性、極值的情況．本小題對(duì)考生的邏輯推理能力與運(yùn)算求解有較高要求．