Question

15．已知△ABC頂點(diǎn)的直角坐標(biāo)分別為A（3，4），B（0，0），C（c，0）
（1）若$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}=0$，求c的值；
（2）若c=5，求cos∠A的值．

Answer 1

分析 （1）由題意和向量的坐標(biāo)運(yùn)算求出$\overrightarrow{AB}、\overrightarrow{AC}$的坐標(biāo)，由向量的數(shù)量積運(yùn)算列出方程，求出c的值；
（2）由題意和兩點(diǎn)之間的距離公式求出AB、BC、AC，由余弦定理求出cos∠A的值．

解答 解：（1）∵A（3，4），B（0，0），C（c，0），
∴$\overrightarrow{AB}=（3，4），\overrightarrow{AC}=（c-3，-4）$，
∵$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}=0$，∴3（c-3）-16=0，解得c=$\frac{25}{3}$；
（2）由條件得，A（3，4），B（0，0），C（5，0），
∴AB=5，BC=5，AC=$\sqrt{（5-3）^{2}+（0-4）^{2}}$=$2\sqrt{5}$，
由余弦定理得，cos∠A=$\frac{A{B}^{2}+A{C}^{2}-B{C}^{2}}{2•AB•AC}$
=$\frac{25+20-25}{2×5×2\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$．

點(diǎn)評 本題考查了余弦定理，向量的坐標(biāo)運(yùn)算、向量的數(shù)量積運(yùn)算的應(yīng)用，難度不大．