Question

6．已知在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線(xiàn)C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=1+4cosα}\\{y=2+4sinα}\end{array}\right.$（α為參數(shù)），直線(xiàn)l過(guò)定點(diǎn)P（3，5），傾斜角為$\frac{π}{3}$，以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．
（1）試寫(xiě)出曲線(xiàn)C的極坐標(biāo)方程；
（2）設(shè)直線(xiàn)l與曲線(xiàn)C交于A、B兩點(diǎn)，求|PA|•|PB|的值．

Answer 1

分析 （1）曲線(xiàn)C的參數(shù)方程消去參數(shù)α，得曲線(xiàn)C的普通方程為x²+y²-2x-4y-11=0，再由ρ²=x²+y²，x=ρcosθ，y=ρsinθ，能求出曲線(xiàn)C的極坐標(biāo)方程．
（2）曲線(xiàn)C是以C（1，2）為圓心，以r=4為半徑的圓，|PC|=$\sqrt{13}$＜4=r，從而P（3，5）在曲線(xiàn)C內(nèi)，求出直線(xiàn)l的參數(shù)方程 代入曲線(xiàn)C：x²+y²-2x-4y-11=0，由此能求出|PA|•|PB|．

解答 解：（1）∵曲線(xiàn)C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=1+4cosα}\\{y=2+4sinα}\end{array}\right.$（α為參數(shù)），
∴消去參數(shù)α，得曲線(xiàn)C的普通方程為（x-1）²+（y-2）²=4²，
即x²+y²-2x-4y-11=0，
∵ρ²=x²+y²，x=ρcosθ，y=ρsinθ，
∴曲線(xiàn)C的極坐標(biāo)方程為ρ²-2ρcosθ-4ρsinθ-11=0．
（2）曲線(xiàn)C是以C（1，2）為圓心，以r=4為半徑的圓，
∵P（3，5），∴|PC|=$\sqrt{（3-1）^{2}+（5-2）^{2}}$=$\sqrt{13}$＜4=r，
∴P（3，5）在曲線(xiàn)C內(nèi)，
∵直線(xiàn)l過(guò)定點(diǎn)P（3，5），傾斜角為$\frac{π}{3}$，
∴設(shè)直線(xiàn)l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=3+\frac{1}{2}t}\\{y=5+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$，（t為參數(shù)），
把直線(xiàn)l的參數(shù)方程代入曲線(xiàn)C：x²+y²-2x-4y-11=0，
得${t}^{2}+（2+3\sqrt{3}）t-3=0$，
該方程有兩個(gè)實(shí)根t₁，t₂，則|PA|•|PB|=|t₁t₂|=3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程的求法，考查兩線(xiàn)段的乘積的求法，考查直角坐標(biāo)方程、極坐標(biāo)方程的互化等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題．