Question

15．對(duì)于函數(shù)f（x），g（x）滿足：對(duì)任意x∈R，都有f（x²-2x+3）=g（x），若關(guān)于x的方程g（x）+sin$\frac{π}{2}$x=0只有5個(gè)根，則這5個(gè)根之和為（　　）

• A． 5
• B． 6
• C． 8
• D． 9

Answer 1

分析 根據(jù)條件，先判斷g（x）關(guān)于x=1對(duì)稱，然后利用函數(shù)與方程之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題進(jìn)行求解即可．

解答 解：∵y=x²-2x+3的對(duì)稱軸為x=1，
∴由f（x²-2x+3）=g（x）得g（x）關(guān)于x=1對(duì)稱
由g（x）+sin$\frac{π}{2}$x=0得g（x）=-sin$\frac{π}{2}$x，
作出函數(shù)y=-sin$\frac{π}{2}$x的圖象，
若程g（x）+sin$\frac{π}{2}$x=0只有5個(gè)根，
則其中一個(gè)根x=1，其余四個(gè)根兩兩關(guān)于x=1對(duì)稱，
則關(guān)于對(duì)稱的根分別為x₁，和x₂，x₃和x₄，
則$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}=1$，$\frac{{x}_{3}+{x}_{4}}{2}=1$，
則x₁+x₂=2，x₃+x₄=2，
則這5個(gè)根之和為2+2+1=5，
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查根的個(gè)數(shù)的判斷，根據(jù)條件判斷兩個(gè)函數(shù)的對(duì)稱性是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，難度較大．