Question

設(shè)奇函數(shù)f（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)，且f（1）=0，則不等式

f(x)-f(-x)

x

＜0的解集為（　　）

• A、（-1，0）∪（1，+∞）
• B、（-∞，-1）∪（0，1）
• C、（-1，0）∪（0，1）
• D、（-∞，-1）∪（1，+∞）

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì),奇偶性與單調(diào)性的綜合

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)函數(shù)為奇函數(shù)求出f（1）=0，再將不等式x f（x）＜0分成兩類加以分析，再分別利用函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解，可以得出相應(yīng)的解集．

解答： 解：∵f（x）為奇函數(shù)，且在（0，+∞）上是增函數(shù)，f（1）=0，
∴f（1）=-f（-1）=0，在（-∞，0）內(nèi)也是增函數(shù)
∴

f(x)-f(-x)

x

=

2f(x)

x

＜0，
即

x＞0 f(x)＜0

或 

x＜0 f(x)＞0

根據(jù)在（-∞，0）和（0，+∞）內(nèi)是都是增函數(shù)
解得：x∈（-1，0）∪（0，1）
故選：C

點(diǎn)評：本題主要考查了函數(shù)的奇偶性的性質(zhì)，以及函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用等有關(guān)知識，屬于基礎(chǔ)題．結(jié)合函數(shù)的草圖，會對此題有更深刻的理解．