Question

設(shè)S_n是各項(xiàng)均為非零實(shí)數(shù)的等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，且滿足條件a₁²+a₁₀²≤4，則S₉的最大值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：等差數(shù)列的前n項(xiàng)和,數(shù)列的函數(shù)特性

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：等差數(shù)列{a_n}滿足條件a₁²+a₁₀²≤4，可設(shè)a₁=rcosθ，a₁₀=rsinθ，（0＜r），利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得：d=

rsinθ-rcosθ

9

．再利用前n項(xiàng)和公式可得：S₉=9a1+

9×8

2

d=5rcosθ+4rsinθ，利用兩角和差的正弦公式及正弦函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答： 解：∵等差數(shù)列{a_n}滿足條件a₁²+a₁₀²≤4，
可設(shè)a₁=rcosθ，a₁₀=rsinθ，（0＜r），
則0＜r≤2．
∵a₁₀=a₁+9d，∴d=

a10-a1

9

=

rsinθ-rcosθ

9

．
∴S₉=9a1+

9×8

2

d=9rcosθ+36×

rsinθ-rcosθ

9

=5rcosθ+4rsinθ≤

(5r)2+(4r)2

=r

41

≤2

41

．
∴S₉的最大值為2

41

．
故答案為：2

41

．

點(diǎn)評：本題考查了差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式、兩角和差的正弦公式及正弦函數(shù)的單調(diào)性，考查了三角函數(shù)代換方法，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于難題．