Question

13．已知數(shù)列{a_n}，a₁=1，a_n+1=2a_n+2，則a_n=3×2^n-1-2，S_n=3×2ⁿ-2n-3．

Answer 1

分析 由已知推導(dǎo)出{a_n+2}是以3為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，由此能求出a_n和S_n．

解答 解：∵數(shù)列{a_n}，a₁=1，a_n+1=2a_n+2，
∴a_n+1+2=2（a_n+2），
∴$\frac{{a}_{n+1}+2}{{a}_{n}+2}$=2，
又a₁+2=3，∴{a_n+2}是以3為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，
∴${a}_{n}+2=3×{2}^{n-1}$，
∴${a}_{n}=3×{2}^{n-1}-2$．
∴S_n=a₁+a₂+…+a_n
=3（2⁰+2+…+2^n-1）-2n
=3×$\frac{1-{2}^{n}}{1-2}$-2n
=3×2ⁿ-2n-3．
故答案為：3×2^n-1-2，3×2ⁿ-2n-3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意構(gòu)造法、等比數(shù)列的性質(zhì)的合理運(yùn)用．