Question

3．如圖，AB是圓O的直徑，點C在圓O上，矩形DCBE所在的平面垂直于圓O所在的平面，AB=4，BE=1．
（1）證明：平面ADE⊥平面ACD；
（2）若∠ABC=30°，求點B到平面ADE的距離．

Answer 1

分析 （1）由矩形性質(zhì)得出DE⊥CD，DE∥BC，由圓的性質(zhì)得出BC⊥AC，故而DE⊥AC，于是DE⊥平面ACD，從而得出平面ADE⊥平面ACD，
（2）由V_B-ADE=V_A-DBE，和三棱錐的體積公式即可求出．

解答 （1）證明：∵AB是圓O的直徑，
∴AC⊥AB，
∵四邊形DCBE是矩形，∴CD⊥DE，DE∥BC．
∴AC⊥DE．
又AC?平面ACD，CD?平面ACD，AC∩CD=C，
∴DE⊥平面ACD．∵DE?平面ADE，
∴平面ADE⊥平面ACD
（2）∵平面DCBE⊥平面ABC，DC?平面DEBE，DC⊥BC，
∴DC⊥平面ABC，
∵AC?平面ABC，
∴DC⊥AC，
Rt△ACB中，AB=4，∠ABC=30°，則$AC=2，BC=2\sqrt{3}$，
Rt△ACD中，$AD=\sqrt{D{C^2}+A{C^2}}=\sqrt{5}$，
由（1）DE⊥平面ADC，AD?平面ADC，
∴DE⊥AD，
∴${S_{△ADE}}=\frac{1}{2}AD•DE=\sqrt{15}$，${S_{△DBE}}=\sqrt{3}$，
由V_B-ADE=V_A-DBE，
∴$\frac{1}{3}d•{S_{△ADE}}=\frac{1}{3}AC•{S_{△DBE}}$，
解得d=$\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$

點評 本題給出一個特殊的四棱錐，通過求證面面垂直和求體積，著重考查了空間直線與平面垂直、平面與平面垂直的判定和性質(zhì)，考查了錐體體積公式，屬于中檔題．