Question

【題目】如圖，某市有一條東西走向的公路，現(xiàn)欲經(jīng)過(guò)公路上的處鋪設(shè)一條南北走向的公路．在施工過(guò)程中發(fā)現(xiàn)在處的正北1百米的處有一漢代古跡．為了保護(hù)古跡，該市決定以為圓心， 1百米為半徑設(shè)立一個(gè)圓形保護(hù)區(qū)．為了連通公路，欲再新建一條公路,點(diǎn) 分別在公路上，且求與圓相切．

(1)當(dāng)距處2百米時(shí)，求的長(zhǎng)；

(2)當(dāng)公路長(zhǎng)最短時(shí)，求的長(zhǎng).

Answer 1

【答案】(1)當(dāng)距處2百米時(shí)， 的長(zhǎng)為百米；(2)當(dāng)公路長(zhǎng)最短時(shí)， 的長(zhǎng)為百米.

【解析】試題分析：題目中涉及到直線與圓相切的條件，一般在平面直角坐標(biāo)系中研究，所以先建立合適的坐標(biāo)系；（1）已知點(diǎn),則設(shè)直線的方程，可設(shè)截距（或點(diǎn)斜式），利用圓心到直線的距離等于半徑，求得的坐標(biāo)，從而得到的長(zhǎng)；（2）研究長(zhǎng)的最小值，則需要建立目標(biāo)函數(shù)，選擇合適的變量，本小題依然可以設(shè)直線的兩個(gè)截距，則容易表示出的長(zhǎng)和直線方程，由相切再得到兩截距間的關(guān)系，消元后則得到一個(gè)一元的函數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)研究它的最小值；

試題解析：

以為原點(diǎn)，直線、分別為軸建立平面直角坐標(biāo)系．

設(shè)與圓相切于點(diǎn)，連結(jié)，以百米為單位長(zhǎng)度，則圓的方程為，

（1）由題意可設(shè)直線的方程為，即， ，

∵與圓相切，∴，解得，

故當(dāng)距處百米時(shí)， 的長(zhǎng)為百米．

（2）設(shè)直線的方程為，即， ，

∵與圓相切，∴，化簡(jiǎn)得，則，

令，∴ ，

當(dāng)時(shí)， ，即在上單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)， ，即在上單調(diào)遞增，

∴在時(shí)取得最小值，故當(dāng)公路長(zhǎng)最短時(shí)， 的長(zhǎng)為百米．

答：（1）當(dāng)距處百米時(shí)， 的長(zhǎng)為百米；（2）當(dāng)公路長(zhǎng)最短時(shí)， 的

長(zhǎng)為百米．