Question

8．已知f（x）=$\frac{{2}^{x}+1}{{2}^{x+1}-a}$是奇函數(shù)．
（1）求a的值；
（2）判斷并證明f（x）在（0，+∞）上的單調(diào)性．

Answer 1

分析 （1）f（x）=$\frac{{2}^{x}+1}{{2}^{x+1}-a}$是奇函數(shù)，f（-1）=-f（1），再進行驗證即可得出結(jié)論；
（2）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義，利用定義法即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）∵f（x）=$\frac{{2}^{x}+1}{{2}^{x+1}-a}$是奇函數(shù)，
∴f（-1）=-f（1），
∴$\frac{\frac{3}{2}}{1-a}=-\frac{3}{4-a}$，
∴a=2，此時滿足f（-x）=-f（x）；
（2）函數(shù)y=f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減．
設(shè)x₁＞x₂＞0，
則f（x₁）-f（x₂）=$\frac{{2}^{{x}_{1}}-{2}^{{x}_{2}}}{（{2}^{{x}_{1}+1}-2）（{2}^{{x}_{2}+1}-2）}$＞0，
即f（x₁）-f（x₂）＜0
∴f（x₁）＜f（x₂），即函數(shù)y=f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減．

點評 本題主要考查函數(shù)的奇偶性，考查函數(shù)單調(diào)性的判斷和證明，利用定義法是解決本題的關(guān)鍵．