Question

已知復(fù)數(shù)z₁=2sinθ-

3

i，z₂=1+（2cosθ）i，θ∈[0，π]．
（1）若z₁•z₂∈R，求角θ；
（2）復(fù)數(shù)z₁，z₂對應(yīng)的向量分別是

OZ1

，

OZ2

，其中O為坐標原點，求

OZ1

•

OZ2

的取值范圍．

Answer 1

考點：復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算

專題：三角函數(shù)的求值,數(shù)系的擴充和復(fù)數(shù)

分析：（1）利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運算整理后由虛部等于0得答案；
（2）由向量的數(shù)量積運算結(jié)合兩角差的正弦整理，由θ的范圍求出相位的范圍后求得

OZ1

•

OZ2

的取值范圍．

解答： 解：（1）∵z₁=2sinθ-

3

i，z₂=1+（2cosθ）i，
∴z₁•z₂=（2sinθ-

3

i）•[1+（2cosθ）i]
=2sinθ+2

3

cosθ+（2sin2θ-

3

）i．
由z₁•z₂∈R，
則2sin2θ-

3

=0，sin2θ=

3

2

，
又θ∈[0，π]，
∴θ=

π

6

；
（2）由z₁=2sinθ-

3

i，z₂=1+（2cosθ）i，
得：

OZ1

•

OZ2

=2sinθ-2

3

cosθ=4（

1

2

sinθ-

3

2

cosθ）=4sin(θ-

π

3

)．
∵θ∈[0，π]，∴θ-

π

3

∈[-

π

3

，

2π

3

]，
則

OZ1

•

OZ2

的取值范圍是[-2

3

，4]．

點評：本題考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，考查了三角函數(shù)的化簡與求值，是中檔題．