Question

13．已知函數(shù)f（x）=sinx-x，若f（cos²θ+2msinθ）+f（-2-2m）＞0對任意的θ∈（0，$\frac{π}{2}$）恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為[-$\frac{1}{2}$，+∞）．

Answer 1

分析 由f（x）=sinx-x可知，f（x）定義域?yàn)镽，且為奇函數(shù)，且為減函數(shù)，故f（cos²θ+2msinθ）+f（-2-2m）＞0對任意的θ∈（0，$\frac{π}{2}$）恒成立
轉(zhuǎn)化為m＞-$\frac{1}{2}$[（1-t）+$\frac{2}{1-t}$-2]在（0，1）上恒成立．

解答 解：由f（x）=sinx-x可知，f（x）定義域?yàn)镽，且為奇函數(shù)；
∵f'（x）=cosx-1≤0，則f（x）在R上單調(diào)遞減；
f（cos²θ+2msinθ）+f（-2-2m）＞0 即：f（cos²θ+2msinθ）＞f（2m+2）；
根據(jù)函數(shù)單調(diào)性有：cos²θ+2msinθ＜2m+2  ①；
 sinθ=t∈（0，1），1-t＞0，①式則：1-t²+2mt＜2m+2；
⇒-1-t²＜2m（1-t）；
⇒m＞$\frac{-1-{t}^{2}}{2（1-t）}$=-$\frac{1}{2}$[（1-t）+$\frac{2}{1-t}$-2]
∵u=（1-t）+$\frac{2}{1-t}$-2 在（0，1）上單調(diào)遞減，u（0）=1
∴m $≥\\;-\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2}$
故答案為：[-$\frac{1}{2}$，+∞）

點(diǎn)評 本題主要考查了函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性的應(yīng)用，以及分類參數(shù)與函數(shù)值域的求法知識點(diǎn)，屬中等題．