Question

1．如果函數(shù)y=f（x）的定義域為R，對于定義域內(nèi)的任意x，存在實數(shù)a使得f=f（x+a）=f（-x）成立，則稱此函數(shù)具有“P（a）性質(zhì)”；
（1）判斷函數(shù)y=sinx是否具有“P（a）性質(zhì)”，若具有“P（a）性質(zhì)”，試寫出所有a的值；若不具有“P（a）性質(zhì)”，請說明理由；
（2）已知y=f（x）具有“P（0）性質(zhì)”，當x≤0時，f（x）=（x+t）²，t∈R，求y=f（x）在[0，1]上的最大值；
（3）設函數(shù)y=g（x）具有“P（±1）性質(zhì)”，且當-$\frac{1}{2}$≤x≤$\frac{1}{2}$時，g（x）=|x|，求：當x∈R時，函數(shù)g（x）的解析式，若y=g（x）與y=mx（m∈R）交點個數(shù)為1001個，求m的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意先檢驗sin（x+a）=sin（-x）是否成立即可檢驗y=sinx是否具有“P（a）性質(zhì)”
（2）由y=f（x）具有“P（0）性質(zhì)可得f（x）=f（-x），結(jié)合x≤0時的函數(shù)解析式可求x≥0的函數(shù)解析式，結(jié)合t的范圍判斷函數(shù)y=f（x）在[0，1]上的單調(diào)性即可求解函數(shù)的最值
（3）由題意可得g（1+x）=g（-x），g（-1+x）=g（-x），據(jù)此遞推關系可推斷函數(shù)y=g（x）的周期，根據(jù)交點周期性出現(xiàn)的規(guī)律即可求解滿足條件的m，以及g（x）的解析式

解答 解：（1）由sin（x+a）=sin（-x）得sin（x+a）=-sinx，
根據(jù)誘導公式得a=2kπ+π（k∈Z）．
∴y=sinx具有“P（a）性質(zhì)”，其中a=2kπ+π（k∈Z）．
（2）∵y=f（x）具有“P（0）性質(zhì)”，
∴f（x）=f（-x）．
設x≥0，則-x≤0，∴f（x）=f（-x）=（-x+t）²=（x-t）²
∴f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（x+t）^{2}，x≤0}\\{（x-t）^{2}，x≥0}\end{array}\right.$
當t≤0時，∵y=f（x）在[0，1]遞增，
∴x=1時y_max=（1-t）²，
當0＜t＜$\frac{1}{2}$時，y=f（x）在[0，t]上遞減，在[t，1]上遞增，且f（0）=t²＜f（1）=（1-t）²，
∴x=1時y_max=（1-t）²，
當t≥$\frac{1}{2}$時，
∵y=f（x）在[0，m]上遞減，在[m，1]上遞增，且f（0）=m²≥f（1）=（1-m）²，
∴x=0時，y_max=t²，
綜上所述：當t＜$\frac{1}{2}$時，y_max=f（1）=（1-t）²，
當t≥$\frac{1}{2}$y_max=f（0）=t²，
（3）∵y=g（x）具有“P（±1）性質(zhì)”，
∴g（1+x）=g（-x），g（-1+x）=g（-x），
∴g（x+2）=g（1+1+x）=g（-1-x）=g（x），從而得到y(tǒng)=g（x）是以2為周期的函數(shù)．
又$\frac{1}{2}$≤x≤$\frac{3}{2}$設，則-$\frac{1}{2}$≤x-1≤$\frac{1}{2}$，
g（x）=g（x-2）=g（-1+x-1）=g（-x+1）=|-x+1|=|x-1|=g（x-1）．
再設n-$\frac{1}{2}$≤x≤n+$\frac{1}{2}$（n∈z），
當n=2k（k∈z），則2k-$\frac{1}{2}$≤x≤2k+$\frac{1}{2}$，則-$\frac{1}{2}$≤x-2k≤$\frac{1}{2}$，
g（x）=g（x-2k）=|x-2k|=|x-n|；
當n=2k+1（k∈z），則2k+1-$\frac{1}{2}$≤x≤2k+1+$\frac{1}{2}$，則$\frac{1}{2}$≤x-2k≤$\frac{3}{2}$
g（x）=g（x-2k）=|x-2k-1|=|x-n|；
∴g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-x+n，n-\frac{1}{2}≤x≤n}\\{x-n，n＜x＜n+\frac{1}{2}}\end{array}\right.$
∴對于n-$\frac{1}{2}$≤x≤n+$\frac{1}{2}$，（n∈z），都有g(shù)（x）=|x-n|，而n+1-$\frac{1}{2}$＜x+1＜n+1+$\frac{1}{2}$，
∴g（x+1）=|（x+1）-（n+1）|=|x-n|=g（x），
∴y=g（x）是周期為1的函數(shù)．
①當m＞0時，要使y=mx與y=g（x）有1001個交點，只要y=mx與y=g（x）在[0，500）有1000個交點，而在[500，501]有一個交點．
∴y=mx過（$\frac{1001}{2}$，$\frac{1}{2}$），從而得m=$\frac{1}{1001}$
②當m＜0時，同理可得m=-$\frac{1}{1001}$
③當m=0時，不合題意．
綜上所述m=±$\frac{1}{1001}$

點評 本題考查周期函數(shù)，著重考查函數(shù)在一定條件下的恒成立問題與最值求解的相互轉(zhuǎn)化，綜合考察構(gòu)造函數(shù)、分析轉(zhuǎn)化、分類討論的數(shù)學思想與方法，難度大，思維深刻，屬于難題