Question

【題目】已知一條動(dòng)直線3(m+1)x+(m-1)y-6m-2=0，

（1）求證：直線恒過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（2）若直線與x、y軸的正半軸分別交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，是否存在直線滿足下列條件：①△AOB的周長(zhǎng)為12；②△AOB的面積為6，若存在，求出方程；若不存在，請(qǐng)說明理由.

（3）若直線與x、y軸的正半軸分別交于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)取最小值時(shí)，求直線的方程.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）存在；直線方程為3x＋4y－12＝0（3）3x＋3y－10＝0

【解析】

（1）將題目所給直線方程重新整理，由此證得直線恒過定點(diǎn)，并求得定點(diǎn)坐標(biāo).

（2）設(shè)出直線方程截距式，根據(jù)題目所給條件，求出直線方程.

（3）設(shè)出直線的傾斜角，求得的表達(dá)式并結(jié)合三角函數(shù)的知識(shí)求得最小值，以及此時(shí)的直線方程.

（1）依題意直線方程為，

即，

即，

所以由，解得，故直線過定點(diǎn).

（2）依題意設(shè)直線方程為，將代入得①.

則，則，解得或.

其中不滿足①，滿足①.

所以存在直線，即滿足條件.

（3）由（1）知直線過定點(diǎn)，而若直線與x、y軸的正半軸分別交于A，B兩點(diǎn)，所以直線的傾斜角，

所以，

所以②，

令，

由于，所以，所以，

所以.

則②可化為，由于在上為減函數(shù)，所以在上為增函數(shù)，故當(dāng)，即時(shí)，取得最小值為.此時(shí)直線方程為，即，

也即.