Question

4．已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{a_n}滿足log₂a_n=1+log₂a_n-1n∈N^*，n≥2，且a₁=2．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）令c_n=（3n-1）•a_n，求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和T_n；
（Ⅲ）設(shè)數(shù)列{b_n}滿足b_n=$\frac{{na_n^{\;}}}{{（2n+1）•{2^n}}}$，是否存在正整數(shù)m，n（1＜m＜n），使得b₁，b_m，b_n成等比數(shù)列？若存在，求出所有的m，n的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意可得數(shù)列{$log_2^{\;}{a_n}$}是首相為$log_2^{\;}{a_1}=log_2^{\;}2=1$，公差為1的等差數(shù)列，即可求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式，
（Ⅱ）利用錯(cuò)位相減法即可求出數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和T_n；
（Ⅲ）求出數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)，利用得b₁，b_m，b_n成等比數(shù)列，正整數(shù)m、n（1＜m＜n），即可得出結(jié)論．

解答 解：（Ⅰ）∵對(duì)任意的n∈N^*，n≥2，$log_2^{\;}{a_n}=1+log_2^{\;}{a_{n-1}}$，
即：$log_2^{\;}{a_n}-log_2^{\;}{a_{n-1}}=1$
∴數(shù)列{$log_2^{\;}{a_n}$}是首相為$log_2^{\;}{a_1}=log_2^{\;}2=1$，公差為1的等差數(shù)列．
∴$log_2^{\;}{a_n}=1+1×（n-1）=n$，
∴a_n=2ⁿ，（n∈N^*）
（Ⅱ）令c_n=（3n-1）•a_n=（3n-1）×2ⁿ，
∴${T_n}=2×{2^1}+5×{2^2}+8×{2^3}+…+（{3n-4}）×{2^{n-1}}+（{3n-1}）×{2^n}$，
∴$2{T_n}=2×{2^2}+5×{2^3}+8×{2^4}+…+（{3n-4}）×{2^n}+（{3n-1}）×{2^{n+1}}$，
∴$-{T_n}=2×{2^1}+3×{2^2}+3×{2^3}+…+3×{2^{n-1}}+3×{2^n}-（{3n-1}）×{2^{n+1}}$，
∴$-{T_n}=6×\frac{{{2^n}-1}}{2-1}-2-（{3n-1}）×{2^{n+1}}=-（6n-8）•{2^n}-8$
∴${T_n}=（6n-8）•{2^n}+8$
（Ⅲ）b_n=$\frac{{na_n^{\;}}}{{（2n+1）•{2^n}}}$=$\frac{n}{2n+1}$，若b₁，b_m，b_n成等比數(shù)列，
則（$\frac{m}{2m+1}$）²=$\frac{1}{3}$（$\frac{n}{2n+1}$），即$\frac{{m}^{2}}{4{m}^{2}+4m+1}$=$\frac{n}{6n+3}$．
可得$\frac{3}{n}$=$\frac{-2{m}^{2}+4m+1}{{m}^{2}}$，
所以-2m²+4m+1＞0，解得：1-$\frac{\sqrt{6}}{2}$＜m＜1+$\frac{\sqrt{6}}{2}$．
又m∈n∈N^*，且m＞1，
∴m=2，此時(shí)n=12，．
故當(dāng)且僅當(dāng)m=2，年2．使得b₁，b_m，b_n成等比數(shù)列．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列遞推式，考查等比數(shù)列的證明，考查數(shù)列的通項(xiàng)以及錯(cuò)位相減法求和，正確運(yùn)用數(shù)列遞推式是關(guān)鍵，屬于中檔題．