Question

19．已知函數(shù)f（x）=3x²-2x，數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，點(diǎn)（n，S_n）都在函數(shù)圖象上，令b_n=$\frac{1}{{{a_n}•{a_{n+1}}}}$，T_n為數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和，使得T_n＜$\frac{m}{20}$對(duì)任意的n∈N^*恒成立的最小正整數(shù)m為4．

Answer 1

分析 點(diǎn)（n，S_n）都在函數(shù)f（x）圖象上，可得S_n=3n²-2n，利用遞推關(guān)系可得：a_n=6n-5．可得b_n=$\frac{1}{{{a_n}•{a_{n+1}}}}$=$\frac{1}{（6n-5）（6n+1）}$=$\frac{1}{6}（\frac{1}{6n-5}-\frac{1}{6n+1}）$，利用“裂項(xiàng)求和”方法與數(shù)列的單調(diào)性即可得出．

解答 解：∵點(diǎn)（n，S_n）都在函數(shù)f（x）圖象上，
∴S_n=3n²-2n，
n=1時(shí)，a₁=1．n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=3n²-2n-[3（n-1）²-2（n-1）]=6n-5．n=1時(shí)成立．
∴a_n=6n-5．
∴b_n=$\frac{1}{{{a_n}•{a_{n+1}}}}$=$\frac{1}{（6n-5）（6n+1）}$=$\frac{1}{6}（\frac{1}{6n-5}-\frac{1}{6n+1}）$，
∴數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n=$\frac{1}{6}$$[（1-\frac{1}{7}）+（\frac{1}{7}-\frac{1}{13}）$+…+$（\frac{1}{6n-5}-\frac{1}{6n+1}）]$
=$\frac{1}{6}（1-\frac{1}{6n+1}）$．
由$\frac{1}{6}（1-\frac{1}{6n+1}）$＜$\frac{m}{20}$對(duì)任意的n∈N^*恒成立，
∴m≥20×$\frac{1}{6}$
∴滿足最小正整數(shù)m為4．
故答案為：4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了遞推關(guān)系、“裂項(xiàng)求和”方法、數(shù)列的單調(diào)性，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．