Question

6．設函數(shù)f（x）=1+x-alnx（a∈R）
（1）討論f（x）在其定義域上的單調性；
（2）當f（x）有最小值，且最小值大于2a時，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）f′（x）=$\frac{x-a}{x}$（x＞0），對a與0的大小關系分類討論即可得出單調性．
（2）由（1）可知：當a＞0時，f（x）有最小值f（a），可得f（a）=1+a-alna＞2a，化為：alna+a-1＜0．令g（a）=alna+a-1，（a＞0），g（1）=0．利用導數(shù)研究其單調性即可得出．

解答 解：（1）f′（x）=1-$\frac{a}{x}$=$\frac{x-a}{x}$（x＞0），
當a≤0時，f′（x）＞0，∴函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調遞增．
當a＞0時，x∈（0，a）時，f′（x）＜0，∴函數(shù)f（x）在（0，a）上單調遞減；x∈（a，+∞）時，f′（x）＞0，∴函數(shù)f（x）在（0，a）上單調遞增．
（2）由（1）可知：當a＞0時，f（x）有最小值f（a），
則f（a）=1+a-alna＞2a，
化為：alna+a-1＜0．
令g（a）=alna+a-1，（a＞0），g（1）=0．
可知：a＞0時，
則g′（a）=lna+2，
可知：0＜a＜e^-2時，g′（a）＜0，函數(shù)g（a）單調遞減；a＞e^-2時，g′（a）＞0，函數(shù)g（a）單調遞增．
∴a=e^-2時，g（a）取得極小值即最小值，g（e^-2）=-e^-2-1＜0．
a→0時，g（a）→-1．
綜上可得：a的取值范圍是（0，1）．

點評 本題考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性極值與最值、不等式的解法，考查了分類討論方法、推理能力與計算能力，屬于難題．