Question

點A在單位正方形OPQR的邊PQ，QR上運動，OA與RP的交點為B，則

OA

•

OB

的最大值為

 

．

Answer 1

考點：平面向量數(shù)量積的運算

專題：計算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,平面向量及應(yīng)用

分析：以O(shè)為坐標原點，OP，OR為x，y軸，建立直角坐標系，設(shè)出P，R，A的坐標，求出直線PR，OP的方程，解得交點B，再由數(shù)量積的坐標表示得到函數(shù)式，化簡得到對勾函數(shù)，再由函數(shù)的單調(diào)性即可得到最大值．

解答： 解：以O(shè)為坐標原點，OP，OR為x，y軸，建立直角坐標系，
設(shè)P（1，0），R（0，1），則直線PR的方程為x+y-1=0，
當A在PQ上，設(shè)A（1，t），（0≤t≤1），
則直線OA的方程為y=tx，
求得交點B（

1

1+t

，

t

1+t

），
則可令y=

OA

•

OB

=

1

1+t

+

t2

1+t

=

1+t2

1+t

=（1+t）+

2

1+t

-2，
由于1≤1+t≤2，則有y≥2

2

-2，當且僅當1+t=

2

，取得最小值2

2

-2，
當1+t=1或2，即t=0或1時，y取得最大值，且為1．
同樣，當A在QR上時，運用類似的方法，可得當A在Q或R時，取得最大值1．
故答案為：1．

點評：本題考查平面向量的數(shù)量積的坐標表示，考查對勾函數(shù)的最值，考查運算能力，屬于中檔題．