Question

3．函數(shù)f（x）=x²|x-a|，x∈[0，2]
（1）當(dāng)a=1時(shí)求函數(shù)的最大值；
（2）求函數(shù)的最小值g（a）的表達(dá)式．

Answer 1

分析 （1）求得a=1時(shí)，f（x）的分段函數(shù)式，對(duì)0≤x＜1時(shí)，1≤x≤2時(shí)，求得導(dǎo)數(shù)和單調(diào)區(qū)間，可得最大值，即可得到所求函數(shù)的最大值；
（2）對(duì)a討論，當(dāng)a≤0，當(dāng)a＞0，求得單調(diào)性，可得最小值，結(jié)合不等式的性質(zhì)，可得g（a）．

解答 解：（1）當(dāng)a=1時(shí)，函數(shù)f（x）=x²|x-1|，x∈[0，2]，
=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}（x-1），1≤x≤2}\\{{x}^{2}（1-x），0≤x＜1}\end{array}\right.$，
當(dāng)0≤x＜1時(shí)，f（x）=x²（1-x）的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=2x-3x²=x（2-3x），
可得f（x）在（0，$\frac{2}{3}$）遞增，在（$\frac{2}{3}$，1）遞減，
即有f（x）在x=$\frac{2}{3}$處取得最大值$\frac{4}{27}$；
當(dāng)1≤x≤2時(shí)，f（x）=x²（x-1）的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=3x²-2x=x（3x-2），
可得f（x）在（1，2）遞增，即有f（x）在x=2處取得最大值4；
綜上可得，f（x）在[0，2]處的最大值為f（2）=4；
（2）函數(shù)f（x）=x²|x-a|，x∈[0，2]
當(dāng)a≤0時(shí)，f（x）=x²（x-a）的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=3x²-2ax≥0在[0，2]恒成立，
即有f（x）在[0，2]遞增，可得f（0）為最小值0；
當(dāng)a＞0時(shí)，f（x）=x²|x-a|，由于x²∈[0，4]，
|x-a|≥0，可得f（x）≥0，當(dāng)x=0或x=a時(shí)，取得最小值0．
綜上可得f（x）的最小值g（a）=0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的最值的求法，注意運(yùn)用去絕對(duì)值的方法，以及導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，求最值，考查分類(lèi)討論的思想方法，屬于中檔題．