Question

17．如圖，在三棱柱ABM-DCN中，側(cè)面ADNM⊥側(cè)面ABCD，且側(cè)面ADNM是矩形，AD=2，AM=1，側(cè)面ABCD是菱形，∠DAB=60°，E是AB的中點(diǎn)．
（1）求證：AN∥平面MEC；
（2）求三棱錐E-CMN的體積．

Answer 1

分析 （1）設(shè)MC，BN交于F，連結(jié)EF，由四邊形BCNM是平行四邊形可得F是BN的中點(diǎn)，由中位線定理得EF∥AN，故AN∥平面MEC；
（2）V_E-CMN=$\frac{1}{2}$V_A-CMN=$\frac{1}{2}$V_C-ANM=$\frac{1}{2}$V_B-ANM=$\frac{1}{2}$V_N-MAB=$\frac{1}{2}$V_D-MAB=$\frac{1}{2}$V_M-ABD．

解答 證明：（1）設(shè)MC，BN交于F，連結(jié)EF，
∵四邊形BCNM是平行四邊形，
∴F是BN的中點(diǎn)，∵E是AB的中點(diǎn)，
∴EF∥AN，
又AN?平面MEC，EF?平面MEC，
∴AN∥平面MEC．
（2）∵E是AB的中點(diǎn)，∴V_E-CMN=$\frac{1}{2}$V_A-CMN=$\frac{1}{2}$V_C-ANM．
∵BC∥平面ADNM，∴V_C-ANM=V_B-ANM=V_N-MAB，
∵ND∥平面ABM，∴V_N-MAB=V_D-MAB=V_M-ABD．
∵平面ADNM⊥平面ABCD，平面ADNM∩平面ABCD=AD，MA⊥AD，
∴MA⊥平面ABCD，
∵S_△ABD=$\frac{1}{2}AB•AD•sin∠BAD$=$\frac{1}{2}×2×2×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$，
∴V_M-ABD=$\frac{1}{3}{S}_{△ABD}•AM$=$\frac{1}{3}×\sqrt{3}×1=\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∴V_E-CMN=$\frac{1}{2}$V_M-ABD=$\frac{\sqrt{3}}{6}$．

點(diǎn)評 本題考查了線面平行的判定，面面垂直的性質(zhì)，棱錐的體積計(jì)算，屬于中檔題．